解释Gurvits对Deolalikar论文的张量秩解释

[注意：我认为这个问题绝不取决于Deolalikar论文的正确性。

在Scott Aaronson的博客Shtetl Optimized上，在关于Deolalikar最近在P vs NP上的尝试的讨论中，Leonid Gurvits发表了以下评论：

我试图理解/重新构造该方法，这是我的尝试，可能是非常简单的尝试：可以将本文中的离散概率分布视为张量或非常特殊的多元多项式。假设“ P = NP”以某种方式在张量秩上给出了（多项式？）上限。最后，使用已知的概率结果，他得到了同一排名的不匹配（指数？）下限。如果我是对的，那么从某种意义上说，这种方法是一种非常聪明的方法，可以很好地推广以前的代数几何方法。

尽管Deolalikar的证明存在怀疑/已知的缺陷，但我很好奇：

以何种方式可以将Deolalikar论文中讨论的分布视为张量，并且他的结果陈述（无论其正确性如何）如何转化为关于张量秩的陈述？

[我读了一些我认为完全不相关的内容，然后有一个“啊哈时刻”，所以我认为我至少已经找到了答案的一部分。我不确定这是否就是Gurvits想到的，但这对我来说很有意义。

n个二元变量可以被看作是张量积的元件- [R 2＆CircleTimes; ⋯ ＆CircleTimes; - [R 2（正因子）（实际上是相关联的射影空间，但是我们会到达那个）。如果我们用|标记R 2的每个副本的基础元素，0 ⟩和| 1 $x_1,...,x_n$$\mathbb{R}^2 \otimes \dotsb \otimes \mathbb{R}^{2}$$\mathbb{R}^2$$|0\rangle$$|1\rangle$，则该张量积空间的基础由所有n位字符串的集合给出。如果我们有一个张量积的元素，其系数的总和为1，那么我们可以将任何给定的n位字符串的系数解释为该字符串出现的概率-就是概率分布！现在，由于我们只需要概率分布（系数总和为1），我们可以将张量积中的任何向量归一化以具有该属性。仅考虑归一化张量，我们实际上仅考虑该张量积的投影空间的元素。

现在，我们必须将张量秩与Deolalikar的多对数参数化概念联系起来。根据当前页由Terry道，似乎polylog-parametrizability的Deolalikar的概念是，分布可以被“分解成电位”为μ （X 1，。。。，X Ñ）= Π ñ 我= 1个 p 我（x i ; x p a （i ）），其中pa（i）是一组polylog（n）变量，定义为“ i的父母”，并且$\mu$$\mu(x_1,...,x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i ; x_{pa(i)})$是 x i的分布，仅取决于这些父变量。此外，父母的有向图应该是非循环的。$p_i( - ; x_{pa(i)})$$x_i$

让我们从一种非常简单的分布开始。假设满足μ （X 1，。。。，X Ñ）= Π ñ 我= 1个 p 我（X 我）对于一些分布p 我（其中p 我仅依赖于X 我）。然后，它是希望清楚的是，对应的张量是秩1张量：（p 1（0 ）| 0 ⟩ $\mu$$\mu(x_1, ..., x_n) = \prod_{i=1}^{n} p_i(x_i)$$p_i$$p_i$$x_i$。$(p_1(0)|0\rangle + p_1(1)|1\rangle) \otimes \dotsb \otimes (p_n(0)|0\rangle + p_n(1)|1\rangle)$

$x_{2i} = 1 - x_{2i+1}$$i$$O(1)$$(|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle) \otimes \dotsb \otimes (|0\rangle \otimes |1\rangle + |1\rangle \otimes |0\rangle)$$2^{n/2}$$2^{n/2}$$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2 \otimes \mathbb{R}^2$$O(n)$$O(1)$$O(n)$$2^n$

我仍然在制定两个问题时遇到麻烦，希望您能提供进一步的答案：

• 使后者的对应关系更精确
• 写出对应于多对数可分布分布的张量的公式，并获得其秩的上限。