参考请求：次模最小化和单调布尔函数

背景：在机器学习中，我们经常使用图形模型来表示高维概率密度函数。如果我们放弃密度积分（求和）为1的约束，我们将得到一个未归一化的图结构能量函数。

假设我们有这样的能量函数，，在曲线图上定义的。有一个变量为图中的每个顶点，并且有实值一元和成对的功能，和，分别。那么，全能量就是 $E$ $G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})$ $x$ $\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}$ $\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij \in \mathcal{E}$

E (x) = \sum_{i \in V} θ_{i} (x_{i}) + \sum_{i j \in E} θ_{i j} (x_{i}, x_{j})

$E(\mathbf{x}) = \sum_{i \in \mathcal{V}} \theta_i(x_i) + \sum_{ij \in \mathcal{E}} \theta_{ij}(x_i, x_j)$

如果所有的是二进制的，我们能想到的的作为指示集合成员，并与术语谈论子模的只是一个小的滥用。在这种情况下，能量的功能是当且仅当子模 $x \in \mathbf{x}$ $x$ $\theta_{ij}(0, 0) + \theta_{ij}(1, 1) \le \theta_{ij}(0, 1) + \theta_{ij}(1, 0)$ $\mathbf{x}^* = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

最小化亚模能量函数和单调布尔函数之间似乎存在联系：如果我们为任何降低某些的能量（即，将其偏好设置为“ true”），则最优中任何变量赋值只能从0更改为1（从“ false”更改为“ true”）。如果将所有限制为0或1，则单调布尔函数： $\theta_i(x_i=1)$ $x_i$ $x_i^* \in \mathbf{x}^*$ $\theta_i$ $|\mathcal{V}|$

f_{i} (θ) = x_{i}^{*}

$f_i(\mathbf{\theta}) = x_i^*$

其中。 $\mathbf{x^*} = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

问题：我们可以通过改变成对项来使用此设置表示所有单调布尔函数吗？如果我们允许是任意的次模能量函数，该怎么办？相反，我们可以将所有子模最小化问题表示为的集合单调布尔函数？ $\theta_{ij}$ $E$ $|\mathcal{V}|$

您能提出一些建议，以帮助我更好地理解这些联系吗？我不是理论上的计算机科学家，但是我试图了解是否存在关于单调布尔函数的见解，而这些见解并没有通过在亚模最小化术语中进行思考而获得。

— dan_x
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据我所知，亚模最小化情况捕获了关于单调布尔情况的所有要说的内容，而二进制亚模布尔函数可以表示所有亚模布尔函数。但是，如果域是非布尔值，那么即使可以引入隐藏变量，二进制子模函数也不足以表示所有子模函数。（很抱歉，如果我在您的确切问题措词中没有细微之处。）

在这篇不错的论文中讨论了最新技术，该论文与相关工作有很多联系，这也使与计算机视觉的联系非常明确：

斯坦尼斯拉夫·齐夫尼（StanislavŽivný），大卫·科恩（David A.Cohen），彼得·G·耶旺斯（Peter G.Jeavons），二进制次模块函数的表达能力，DAM 157 3347-3358，2009. doi：10.1016 / j.dam.2009.07.001（preprint）

如果您的下一个问题是关于近似值的，那么最近的这篇论文着眼于近似值的版本：

Dorit S. Hochbaum，次模量问题-近似和算法，arXiv：1010.1945

编辑：固定链接。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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尽管（preprint）链接将我带到了与doi：链接不同的纸张。

— dan_x 2010年

@dan x：修复了链接，感谢您的注意。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年