3-SUM的乘法版本

关于以下问题的时间复杂度（我们称为3-MUL）的知识是什么？

给定整数的集合，中是否有元素使得？$S$$n$$a,b,c\in S$$ab=c$

此问题类似于3-SUM问题，该问题询问是否存在三个元素使得（或等效地）。推测3-SUM大约需要二次时间。3-MUL是否有类似的猜想？具体来说，是否知道3-MUL是3-SUM硬的？$a,b,c\in S$$a+b+c=0$$a+b=c$$n$

注意，时间复杂度应适用于“合理的”计算模型。例如，我们可以从集上的3-SUM减少到集上的3-MUL ，其中 。然后，当且仅当，存在3-MUL的解。但是，数字的这种指数级膨胀在各种模型（例如RAM模型）中非常严重。$S$$S'$$S'=\{2^x\mid x\in S\}$$2^a\cdot 2^b=2^c$$a+b=c$

从 SUM 减少到 MUL只需对标准进行较小的修改。假设原始整数在{ }中。转换，新整数在{ }中。我们将缩小范围。3 1 ，… ，M x → 2 x 2 ，… ，2 $3$$3$$1,\ldots,M$$x\rightarrow 2^x$$2,\ldots,2^M$

考虑新集合任何整数三元组。任何非零的质数除数的数量是。这样的三元组的数目为。因此，将至少非零数之一除的质数最多为。小号'一个b - c ^ < 2 中号Ñ 3 q 一个b - c ^ 2 中号Ñ $a,b,c$$S'$$ab-c$$<2M$$n^3$$q$$ab-c$$2Mn^3$

令为前素数的集合。最大的此类素数最大为。选择一个随机素数。以高概率除不尽任何非零的，所以我们可以表示每个通过其残基，模，如果 MUL发现一些在，以高概率它将对于原始的 SUM实例是正确的。我们将数字范围减小为{ }。2 中号⋅ Ñ 4 ø （中号Ñ 4日志中号Ñ ）p ∈ P p 一个b - c ^ 一个∈ 小号' p 3 一个b = c ^ 小号' 3 0 ，... ，Ô （中号Ñ 4日志中号Ñ $P$$2M\cdot n^4$$O(Mn^4\log Mn)$$p\in P$$p$$ab-c$$a\in S'$$p$$3$$ab=c$$S'$$3$$0,\ldots, O(Mn^4\log Mn)$

（这是标准的尺寸减小。考虑到始终是2的幂的差这一事实，您可能可以做得更好。）$ab-c$$2$

您是否尝试过简化其中？结果是实数，因此您必须四舍五入到一些数字。为了确保即使四舍五入也能正确添加数字，您可能需要添加一些随机噪声。中号= 最大小号- 分钟$S'=\{2^{x/M}|x\in S\}$$M=\max S− \min S$