矩阵乘法的真位复杂度为

使用常规（行列内积）技术的矩阵乘法需要乘法和加法。但是，假设大小相等的条目（两个矩阵的每个条目的位数相乘），大小为位，则加法运算实际上发生在位上。$O(n^{3})$$O(n^{3})$$m$$O(n^{3}nm) = O(n^{4}m)$

因此，如果通过位复杂度来衡量，矩阵乘法的真正复杂度应该是。$O(n^{4})$

$(1)$正确吗？

假设如果创建一种算法将位复杂度降低到而不是总乘法和加法，那么这比说减少总乘法和加法到，例如Coppersmith和Cohn等研究人员所尝试的。$O(n^{3+\epsilon})$$O(n^{2+\epsilon})$

$(2)$这是一个有效的论点吗？

不，位条目上矩阵乘法的位复杂度为，其中是最著名的矩阵乘法指数。位数字的乘法和加法可以在时间内完成。将两个位数字相乘得出一个不超过位的数字。加$M$$n^{\omega} (\log n)^{O(1)} \cdot M (\log M)^{O(1)}$$\omega < 2.4$$M$$M (\log M)^2$$M$$2M$$n$ 的数量 $M$ 每位产生一个不超过 $M+\log n+O(1)$位。（考虑一下：总和最大为$n 2^M$，因此位表示所用的位​​数不超过位。）$\log (n 2^M)+O(1)$

可通过网络搜索或维基百科找到快速整数乘法算法的参考。