单纯形算法的复杂性

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用于查找线性程序解的单纯形算法的上限是多少？

我将如何寻找这种情况的证据？似乎最坏的情况是是否必须访问每个顶点，所以它就是。但是实际上，对于更标准的问题，单纯形算法的运行速度明显快于此算法。 $O(2^n)$

如何使用这种方法解决问题的平均复杂度？

任何信息或参考，不胜感激！

— 班车87
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5

请注意，正如mashca在回答中所说，我们实际上并没有“单纯形算法”。根据枢轴规则的选择，有很多不同的单纯形算法。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

2

维度为

的多维数据集具有

个顶点，因此，如果（例如，Klee-Minty）多维数据集上的任何单纯形变体的上限为，则为2。但是，维

具有

个小面的多面体，例如具有超过

个顶点的双环多面体，因此

并不是一般平方约束矩阵的单纯形法运行时间的直接上限。。

n

$n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

2 n

$2n$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

— Rahul Savani

72

单纯形算法确实在最坏的情况下访问所有 $2^n$ 个顶点（Klee＆Minty 1972），事实证明对于任何确定性枢轴规则都是如此。但是，在使用平滑分析的地标性论文中，Spielman和Teng（2001）证明，当对该算法的输入进行轻微随机扰动时，对于任何输入，单纯形算法的预期运行时间都是多项式-这基本上表示任何问题都有一个“附近”的问题，单纯形方法将有效解决这个问题，它几乎涵盖了您想解决的每个现实世界中的线性程序。之后，Kelner和Spielman（2006）介绍了一种truley可以在任何输入上工作的多项式时间随机单纯形算法，甚至对于原始单纯形算法来说也很糟糕。

— 列夫·雷津
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$2^d$ $d$

$n$ $n^{86}$

— 马蒂亚斯
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4

就像JeffE在另一个问题（cstheory.stackexchange.com/questions/2149/…）中指出的那样，当前最佳的次指数方法是一种对偶单纯形。

— Suresh Venkat 2010年

Vershynin论文的链接已失效。

— kutschkem

8

若要深入了解单纯形方法的最坏情况和平均情况分析，您应该阅读“平滑分析：为什么单纯形算法通常需要多项式时间”。斯皮尔曼和滕。

— 克里斯蒂娜·布歇（Christina Boucher）
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3

Papadimitriou＆Steiglitz Combinatorial Optimization第8.6节很好地说明了为什么单纯形不是在多项式时间内运行，而不是为什么它是指数式，因此在8.6节中他们证明了单纯形不是多项式时间算法。

— 高boreean
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1

$D=200$

GLPK Simplex Optimizer, v4.65
200 rows, 200 columns, 20100 non-zeros
Preprocessing...
199 rows, 200 columns, 20099 non-zeros
Scaling...
 A: min|aij| =  1.000e+00  max|aij| =  1.607e+60  ratio =  1.607e+60
...
Constructing initial basis...
Size of triangular part is 199
*     0: obj =   0.000000000e+00 inf =   0.000e+00 (200)
*     1: obj = -6.223015278e+139 inf =   0.000e+00 (0)
OPTIMAL LP SOLUTION FOUND
Time used:   0.0 secs
Memory used: 3.4 Mb

任何人都可以建议其他方法来为单纯形方法构造困难的问题，缓慢但不受内存限制吗？

补充：拉丁方又名3D置换矩阵似乎有很多顶点-多少？
_{理论和实践在理论上比在实践上更接近。}

— 丹尼斯
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-1

的原始单纯形算法可以发散; 在某些情况下会循环。因此，没有一般的界限。其他答案为您提供了Simplex算法的各种修改的答案。

— MdAyq7
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