检查是否将多项式因子转换为线性因子

令是由大小为的算术电路给出的多项式。鉴于作为输入，是否有确定的算法，以检查是否所有的不可约因子在是线性形式？与此相关的是，给定线性形式，我们可以确定地检查是否为因子。当然，在两种情况下，我们都希望运行时间是多项式。所谓大小，是指总位大小。此外，可以假设的阶数是多项式 $f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ $C$ $s$ $C$ $f$ $\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ $l=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}$ $l$ $f$ $f$ $n$ 。

ds.algorithms algebraic-complexity arithmetic-circuits

— 戈拉夫·金达尔
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当您说“ size ”时，是否表示门数/导线数或总位大小（考虑到用于描述电路中任何常数的位）？

s

$s$

— Joshua Grochow 2014年

@JoshuaGrochow，是的，大小是这里的总位数。

— Gorav Jindal 2014年

您可能已经想到了三个注释，但以防万一：1.关于多项式时间，算术电路的因式分解算法在多项式的大小和阶数上都是多项式，并且我不知道在其中运行的相关任务的算法时间多项式仅在大小上。2.关于确定性，这些算法是随机的，确定性变体的变量数量呈指数级。3.第二个问题可以转换为PIT问题，因此您的问题就等于对某些特定的PIT算法进行了随机化处理。

— 布鲁诺2014年

我还补充说，我发现这些问题非常有趣，我想知道对此已经知道的内容！

— 布鲁诺2014年

关于PIT，通过Schwartz-Zippel / Wikipedia进行多项式身份测试，并且在该领域有很多积极的研究。（是pg PIT可以用来

— 分解

据我所知，我们目前要检查的（由算术电路给出）是否可以分解为线性因子的最佳算法是通过Kaltofen（PDF）的随机算法，该算法实际上为所有不可约因子生成黑盒，并且可以在任何足够大的字段上使用。实际上，Kopparty，Saraf和Shpilka最近证明了通用电路的多项式因式分解问题等同于通用电路的blackbox-PIT问题。 $f$ $f$

正如Bruno所提到的，如果您有兴趣检查给定的划分给定的电路，那么这可以解决特定的PIT问题。通常，我们不知道如何确定性地执行此操作，但我知道一个特殊情况，即我们知道如何执行此PIT。有确定性的多重时间算法（PDF）来检查给定是否将给定稀疏多项式。 $\ell$ $\ell$ $f$

（当由有界的顶部扇入深度三回路给出是另一个琐碎的特殊情况。在那里，也是有界的扇入深度三回路，我们知道如何在确定的多项式时间内进行PIT。） $f$ $f \bmod \ell$

— 兰普拉萨德
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