通过Lambda微积分解释P和NP类

在介绍和解释中，P和NP复杂度等级通常通过Turing机器给出。计算模型之一是lambda演算。我知道，所有计算模型都是等效的（如果我们可以用图灵机来介绍任何东西，我们可以用任何计算模型来介绍），但是我从未见过通过lambda演算来解释P和NP复杂度类的想法。。任何人都可以在没有Turing机器并且仅以lambda演算作为计算模型的情况下解释P和NP复杂度概念。

— 单面
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它们的计算能力仅等效于自然数以上的函数，而不适用于更高类型或其他设置的函数。

— 卡夫

图灵完整性有时是表示联系的更理论性的概念，但TM完整系统之间实际上并不总是进行更多应用的“转换”，即，有时它更多地是关于存在证明的……

— vzn 2014年

Answers:

图灵机和 -calculus仅在它们可以定义的功能是等效的。 $\lambda$ $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$

从计算复杂度的角度来看，它们的行为似乎有所不同。人们使用Turing机器而不是 -calculus来解释复杂性的主要原因是，使用 -calculus会天真地导致不现实的复杂性度量，因为您可以在单个归约步骤中自由复制（任意大小的）项，例如换句话说， -calculus中的单个还原步骤是一个糟糕的成本模型。相比之下，单个Turing机器简化步骤的效果很好（在某种意义上说，它们是真实程序运行时的良好预测指标）。 $\lambda$ $\lambda$ $\beta$ $(\lambda x.xxx)M \rightarrow MMM.$ $\lambda$

在演算中如何完全恢复基于图灵机的传统复杂性理论尚不完全清楚。在最近（2014年）的突破中，阿卡波托利（Accattoli）和达拉古（Dal Lago）设法表明，可以给，和等大类时间复杂度赋予自然的演算公式。但是使用Accattoli / Dal Lago技术无法呈现或等较小的类。 $\lambda$ $P$ $NP$ $EXP$ $\lambda$ $O(n^2)$ $O(n \, log\, n)$

如何使用 -calculus 恢复传统的空间复杂性是未知的。 $\lambda$

— 马丁·伯格
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我觉得有必要在这里澄清一下：Accattoli和Dal Lago没有特别的“技术”来“演示”时间课程。呈现是“天真”的表达：将为在任何标准归约策略（例如，最左侧）下由 -term在归约步骤中确定的语言类别。-最外层）。Accattoli和德尔Lago的显示，利用从线性逻辑来技术，存在一个多项式，使得。

λTIME(f(n)) $\lambda TIME(f(n))$

λ $\lambda$

f(n) $f(n)$

β $\beta$

p $p$

λTIME(f(n))=TIME(p(f(n)) $\lambda TIME(f(n))=TIME(p(f(n))$

— 达米亚诺马扎

@DamianoMazza是的，我的意思是我认为用于显示此结果的技术不能用于显示。

λTIME(n2)=TIME(n2) $\lambda TIME(n^2) = TIME(n^2)$

— Martin Berger 2014年

好的我明白了。实际上，我的猜测是：诸如或类的复杂性类并不健壮，人们无法期望它们能够在计算模型变化的情况下保持稳定（众所周知，即使我们坚持使用图灵机，例如单带与多带也是如此）。

λTIME(n2)≠TIME(n2) $\lambda TIME(n^2)\neq TIME(n^2)$

TIME(n2) $TIME(n^2)$

TIME(nlogn) $TIME(n\log n)$

— Damiano Mazza 2014年

@DamianoMazza我也同意，对于所选字母的大小也是如此。但是，在运行的算法的上 -tape机可以在被模拟 1-磁带机，适度的二次爆破上。Accattoli和Dal Lago的当前翻译的爆炸性内容是什么？我不记得他们是否明确声明过。

f(n) $f(n)$

n $n$

5kf2(n) $5kf^2(n)$

— Martin Berger

@Jake引用的论文讨论了beta规范化（请参见第二页）。对于其他形式的减少，例如弱减少（即按值打电话），也已经知道类似的结果-参见Dal Lago和Martini，2008年（在该论文和cstheory.stackexchange.com/a/397/989中进行了讨论））。

— Blaisorblade

我粘贴了我为另一个问题写的答案的一部分：

隐式计算复杂性旨在通过专用语言来表征复杂性类。诸如贝兰托尼-库克定理之类的第一个结果是用递归函数表示的，但是最近的结果使用 -calculus 的词汇和技术。有关更多信息和提示，请参见“ 隐式计算复杂性简介 ”，或DICE研讨会的会议记录。 $\mu$ $\lambda$

通过 -calculus 可以表征（至少）。 $\mathsf{FP}$ $\lambda$

— 布鲁诺
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我不知道这是否能回答您的问题，但确实存在根据逻辑（一阶逻辑，二阶逻辑）的复杂性类（尤其是和）的其他表征。逻辑等。）。 $\mathbb{P}$ $\mathbb{NP}$

例如，工作的R.费金（等人）在这方面是显着的（和海事组织可能提供与洞察力 VS问题，用描述性和关系的算法的复杂性） $\mathbb{P}$ $\mathbb{NP}$

可以在此处和此处找到（例如）关于算法复杂度（例如，Kolmogorov-Solomonov）的计算复杂度类的其他特征。

— Nikos M.
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