“微小”图同构

在考虑测试非对称图的同构性的复杂性时（请参阅有关 cstheory的相关问题），我想到了一个补充问题。

假设我们有一个多项式时间图灵机 $M$ ，它在输入 $1^n$ 生成具有节点的图。 $G_{M,n}$ $n$

我们可以定义问题 $\Pi_M$ ：

（“微小” GI）：给定一个图 $G=(V,E)$ ， $G$ 与同构 $G_{M,|V|}$ ？

换句话说，我们必须将给定图与由固定多项式时间图灵机生成的相同大小的“参考”图进行比较 $M$ 。

对于所有多项式时间图灵机 $M$ ，我们有 $\Pi_M \in NP$ ，和许多人，我们有 $\Pi_M \in P$ 。
但这对所有都是真的 $M$ 吗？问题是已知的吗？

乍一看，我认为每 $\Pi_M$ 应该比容易得多 $GI$ ，因为对于每 $n$ 有该尺寸的仅一个“参考”图形和或许对称性/所生成的图的非对称性 $M$ 可以被利用和可以构建高效的临时同构测试器...但事实并非如此： $M$ 可以包含某种多项式定时通用图灵机，该机器使用（一元）输入 $1^n$ 生成完全不同的（在结构上）参考图作为 $n$ 增加。

graph-isomorphism

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
source

有趣的是，您知道生成图

的示例P时间图灵机

吗？

M

$M$

G_{M, N}

$G_{M,N}$

— Mohammad Al-Turkistany 2014年

@ MohammadAl-Turkistany：一个简单的例子为哪些

，是一个TM

，简单地输出

分离顶点（或另一个是TM输出

）。在不失一般性的前提下，我们还可以考虑一个模型，在该模型中，二进制字母表上的每个多项式时间TM都会生成一个参考图：只需在磁带停止后选择磁带的前

位，并将其解释为

的邻接矩阵

。

Π_{M} \in P

$\Pi_M \in P$

M

$M$

n

$n$

K_{n}

$K_n$

n^{2}

$n^2$

G_{M, n}

$G_{M,n}$

— Marzio De Biasi

对于TM

即保证

具有哈密顿周期，那么我想

是不是在

。

M

$M$

G_{M, n}

$G_{M,n}$

Π_{M}

$\Pi_M$

P

$P$

— Mohammad Al-Turkistany 2014年

@ MohammadAl-Turkistany：我认为这是不对的：只需选择一个仅构建

节点的循环的TM ：对于所有

参考图（具有哈密顿循环），可以在多项式时间内轻松检查。我想到一个（相当简单的）生成器的非平凡的例子，似乎很难证明问题出在

；但我想在将其添加到问题之前先进行一些测试。

n

$n$

n

$n$

P

$P$

— Marzio De Biasi 2014年

那么对于“ Itsy Bitsy” GI，对于固定的M和N，我们必须决定在1 ^ n上生成的两个图是否相同？（这是一元语言。）

— domotorp，2014年

Answers:

[这更多是一些扩展意见，而不是答案。]

1）如果，则没有固定多项式结合在所有的时间复杂度，即使对于只需要时间，比方说，：如果对于所有时间，，则以下是GI的多时间算法。在输入，构造一个带有时钟的图灵机，以确保 $GI \notin \mathsf{P}$ $\Pi_{M}$ $M$ $n^3$ $n^3$ $M$ $\Pi_{M} \in \mathsf{DTIME}(n^k)$ $(G, H)$ $M_{G}$ $M_{G}$ 从不运行超过大小的输入步骤，并且使得，然后解决在时间。 $n^3$ $n$ $M_{G}(1^{|V(G)|}) = G$ $\Pi_{M_G}(H)$ $O(n^k)$

2）由于任何，是没有难度比GI，人们可能会认为沿线的最好的结果“ 似乎不是在 ”的指望是一个GI-完整性结果。然而，这似乎不太可能，我认为任何一个将是GI-完整，至少在以下几个原因： $M$ $\Pi_{M}$ $\Pi_M$ $\mathsf{P}$ $\Pi_M$

我知道的所有GI完整性结果都是针对相当大类的图，而不是每个大小都有一个图。即使你完全放下工作效率的要求，我不知道图中的任何名单，使得（甚至），这样测试到同构是GI完全的。 $G_1, G_2, \dotsc$ $|V(G_n)| = n$ $poly(n)$ $G_n$
与此相关的是，大多数（全部？）GI完整性结果不仅是多减一，而且具有以下形式：有一个函数使得给定GI的一个实例是另一个GI完全问题的实例。（这些都是等价关系，或者什么的只是聚时态射Fortnow和我所谓的“内核降低）。我们可以很容易地无条件地表明，有来自GI没有这样减少任何（即使你修改的定义，允许 $f$ $(G,H)$ $(f(G), f(H))$ $\Pi_M$ $M$ 以输出多个图形）。提示：通过示出，任何这样的优惠矛盾必须有其图像完全包含在。 $f$ $\{G_{M,n}\}_{n \geq 0}$

3）尽管可以按照问题中的建议，基于通用TM 构建，但也许仍然可以构建高效的测试器，只是效率不高。也就是说，也许对于每个，是在？ $M$ $M$ $\Pi_{M}$ $\mathsf{P/poly}$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
source

我没有回答你的问题，但建议考虑更受限版本的，我们可以证明其位于P. $\Pi_M$

让我们仅考虑图族，以使边的数量对数增长。我将通过重述您的问题表述形式来对此进行形式化，并查看我是否正确理解了它。

具有边的无向图可以用 $G$ $n$ 长位串，只需将上三角中邻接矩阵的条目连接起来。因此有 $\frac{n^2-n}{2}$ $G$ 在个顶点上有可能的图。它遵循任何函数使得 $2^{\frac{n^2-n}{2}}$ $n$ $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ 所有描述了一个图族。对于任何有效的计算这样的函数我们定义作为 $0 \leq f(n) < 2^{\frac{n^2-n}{2}}$ $n$ $f$ $\Pi_f$

G \in Π_{f} ⟺ G is isomorph to the graph described by f (| V (G) |)

$G \in \Pi_f \iff G \text{ is isomorph to the graph described by $f(|V(G)|)$}$

对于自然数令为二进制表示的1的数目。现在，让我们只考虑有效地可计算函数为它认为这是其边的数量增长只有对数图表的家庭，如上面所述。 $x$ $b_1(x)$ $\Pi_f$ $f$

b_{1} (f (n)) \in O (\log n)

$b_1(f(n)) \in \mathcal{O}(\log n)$

我们发现，这个类的功能是P. $\Pi_f$

令为此类函数，为具有个顶点的输入图。让我们称为参考图。参考图中最多有边。因此，每一个MCC（最大连接成分）最多可以包括的顶点，其中可以有至多。请注意，对于只有个顶点的任何一对图，我们都可以在多项式时间wrt 简单检查同构 $f$ $G$ $n$ $f(n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $n$ $\mathcal{O}(\log n)$ $n$ 因为我们可以尝试所有排列。因此，使用贪心算法在参考图中为输入图的每个MCC分配一个MCC，我们可以找出两个图是否都是同构。

— 约翰·D
source

如果我很好地理解了

，如果边的数量仅随

对数增长，则很容易丢掉孤立的顶点并在多项式时间内测试

是否与参考图同构。因此，对于本次限售类，

。

f

$f$

n

$n$

G

$G$

Π_{f} \in P

$\Pi_{f} \in P$

— Marzio De Biasi 2014年

确实，这似乎比我想象的要容易。我将其合并到我的答案中。

— 约翰D.

考虑到一般而言，相同的论点适用于GI并不能令人满意。我想这将是有趣的，如果能提高在边缘上界

设定，即它不能被类似证明对一般GI工作了。

Π_{f}

$\Pi_f$

— 约翰D.

对于使用蛮力（每个组件中的所有排列）的参数，我认为您实际上需要每个连接的组件最多具有

个顶点：

本质上是

。然而，使用已知的最好的算法GI这需要时间

O (\log n / \log \log n)

$O(\log n / \log \log n)$

(\log n)!

$(\log n)!$

(\log n)^{\log n} = n^{\log \log n}

$(\log n)^{\log n} = n^{\log \log n}$

，可以将

替换为

。

2^{\sqrt{v \log v}}

$2^{\sqrt{v \log v}}$

O (\log n / \log \log n)

$O(\log n/\log \log n)$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

— Joshua Grochow 2014年