是否存在有效的一般Bonferroni风格边界？

概率论中的一个经典问题是用更具体的事件来表达事件的概率。在最简单的情况下，可以说。让我们为事件写。 $P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$ $AB$ $A \cap B$

然后，有一些方法可以绑定，而无需假定有限的多个事件独立性。Bonferroni给出了上限（有时也归因于Boole），而Kounias将其精简为 $P[\cup A_i]$ $A_i$

P [\cup A_{i}] \leq \sum P [A_{i}]

$P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]$

P [\cup A_{i}] \leq \sum_{i} P [A_{i}] - max_{j} \sum_{i \neq j} P [A_{i} A_{j}] .

$P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j].$

可以将事件的依存结构视为具有顶点的加权超图， $A_i$ 边缘的权重表示事件与边缘中顶点的交点关联的概率。

包含－排除样式参数将事件的越来越大的子集一起考虑。这些产生Bonferroni边界。这些边界将所有权重用于最大为边缘 $k$ 。

如果依存关系结构“足够好”，则可以使用Lovász局部引理将概率限制为远离极端值0和1。与Bonferroni方法相反，LLL使用了有关依存关系结构的相当粗略的信息。

现在假设依赖性结构中相对较少的权重为非零。此外，假设有许多事件是成对独立的，但不是相互独立的（更一般地说，一组 $k$ 事件不是互相独立的，而是每个都是 $r$ 方向独立的）。 $r < k$

是否可以显式地使用事件的依存结构来改善Bonferroni / Kounias边界，并且可以有效地进行计算？

我希望答案是肯定的，并且希望您能参考到引用。我知道亨特（Hunter）于1976年发表的论文，但它仅涉及成对依赖性。Hunter考虑通过忽略大小为3或更大的依存结构中的边形成的图中的生成树。

戴维·亨特（David Hunter），《工会概率的上限》，《应用概率杂志》13 597–603。 http://www.jstor.org/stable/3212481

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— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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我想您会在Linial和Nisan的论文“近似包含-排除”中找到答案：http : //www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_excl.pdf

— 亚列
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这看起来确实很相关（官方链接是link.springer.com/article/10.1007/BF02128670）；Jeff Kahn，Nathan Linial和Alex Samorodnitsky 也提供了后续链接。springer.com/ article / 10.1007 / BF01271266。

— 安德拉斯·萨拉蒙