Savitch定理的紧下界

首先，对于任何愚蠢行为，我都表示歉意。我绝不是复杂性理论的专家（远非如此！我是本科生，上复杂性理论的第一堂课）这是我的问题。现在Savitch定理指出 现在我很好奇这个下限是否紧，即 无法实现。 NSPACE （˚F （Ñ ）） ⊆ DSPACE （（˚F （Ñ ））1.9

似乎应该在此处进行简单的组合论证-确定性Turing机器的配置图中的每个节点只有一个输出边缘，而非确定性Turing机器的配置图中的每个节点可以具有更多的输出边。多于一个输出边缘。Savitch的算法正在将具有任意数量输出边缘的配置图转换为具有输出边缘的配置图。$<2$

由于配置图定义了唯一的TM（对此不确定），因此后者的组合大小几乎可以肯定比前者大。这个“差异”可能是的因数，或者可能更小-我不知道。当然，还有很多小技术问题需要解决，例如您需要如何确保没有循环等等，但是我的问题是这是否是开始证明这种事情的合理方法。 $n^2$

这是一个众所周知的开放性问题。您会在复杂性理论中看到许多悬而未决的问题，您会想知道为什么没人能解决这些问题。部分原因是我们需要像您这样的新人来帮助我们解决他们:)

有关该领域的最新结果，表明Savitch算法在某些受限模型中是最佳的，请参阅Aaron Potechin的FOCS论文。

具体来说，他从一个很好的观察开始，因为确定性TM的配置图只有一个输出边缘（在固定输入之后），因此人们可以将其视为无向图，因此问题变为如下所示：有向图的顶点与两个特殊顶点，如果我们将其映射到一个顶点无向图（也有特殊的顶点），使得在每个边缘的存在取决于在一个边缘并且存在从一个路径到在当且仅当有之间的路径Ñ 小号，吨Ñ ģ ' 小号'，吨' ģ ' G ^ 小号吨ģ 小号“ 吨” ģ ' Ñ $G$$n$$s,t$$N$$G'$$s',t'$$G'$$G$$s$$t$$G$$s'$和在，多少更大必须是从。$t'$$G'$$N$$n$

为了证明Savitch算法是最优的，需要证明必须至少为。为了显示，足以显示每个常数的较弱边界。我很确定甚至都不知道，尽管可能由于一些不太有趣的原因而知道类的东西。2 Ω （登录2 Ñ ） = Ñ Ω （日志Ñ ）大号≠ Ñ 大号Ñ > Ñ Ç ç Ñ > Ñ 10 Ñ ≥ Ñ $N$$2^{\Omega(\log^2 n)} = n^{\Omega(\log n)}$$L\neq NL$$N > n^c$$c$$N > n^{10}$$N \geq n^2$

我想我们不知道这是否紧。否则我们会知道。$L \neq NL$