硬度会增加计算复杂度吗？

34

最小带宽问题是在整数线上找到图节点的排序，以使任何两个相邻节点之间的最大距离最小。甲 -caterpillar是由至多生长长度的边缘分离路径从主路径形成的树从其节点（被称为头发长度）。对于2个类别，最小带宽问题在，但是对于3个类别，最小带宽问题是。 $k$ $k$ $k$ $P$ $NP$

这是一个非常有趣的事实，最小带宽问题可以在多项式时间内针对1个类别（头发长度最多为1个）求解，但是对于循环1个类别（在毛毛虫中，添加了一条边以连接端点）是的主路径）。因此，仅增加一条边就使问题完全。 $NP$ $NP$

什么是问题硬度跳跃的最显着示例，其中输入实例的微小变化会导致从多项式时间可解性到性的复杂性跳跃？ $NP$

cc.complexity-theory

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
source

6

永久与决定因素。这是两个不同的问题（因此我想它不能作为答案），但是硬度的变化非常惊人。

— 哈加迪什

@Jagadish，我同意。不过，我认为您可以将其发布为答案。

— Mohammad Al-Turkistany

8

当将1个条目随机替换为+1或-1时，可以将0-1矩阵的永久值视为矩阵行列式的期望值。

— Dana Moshkovitz 2010年

@Dana，能否请您发表评论为一个单独的答案？（最好提供参考）

— Mohammad Al-Turkistany 2010年

社区Wiki？

— Niel de Beaudrap

46

可以在以下问题中观察到更有趣的硬度跳跃应用示例之一：

考虑一个由支球队组成的足球联赛冠军：如果在一场比赛中，获胜的球队获得2分，输掉0分，每支球队获得1分，那么决定给定一支球队是否可以（仍然）赢得联赛的问题是点在平局比赛中。但是，如果我们更改规则，以使获胜的团队获得3分，那么同样的问题也会变成 hard。 $n$ $P$ $NP$

对于每任何点规则，甚至对于仅剩下的三个回合，结果都可以推广。 $(0, 1, k)$ $k > 2$

来源：Ingo Wegener撰写的“复杂性理论”（http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1076319）

— 迪米特里·谢夫特洛维奇
source

12

这让我想起了TSP：权重为1或2时，您可以获得1.5的近似值，而权重是1或3时则无法得到

— Suresh Venkat 2010年

24

这将回答问题标题中提出的问题，但不能回答问题中提出的问题。

关于“跃迁”的一个令人震惊的例子来自以下问题：“平面公式对多少？这是广泛认为是＃P-硬，并且它是“最”的值，但如果是梅森整数（例如，因为图7是形式），则答案可以用多项式时间计算。 $n$ $n$ $n$ $n=7$ $2^3-1$

这是Valiant在其开创性的Holographic Algorithms论文中首次发现的。

— 亚伦·斯特林
source

4

那不是很正确。该公式不仅需要是平面的。它也必须是单调的，可读两次，并具有大小为

子句，其中

。Valiant在全息算法中的介绍是将子句大小固定为

，然后改变模量。已知特征0硬度（即#P线束）。飒爽证明硬度MOD 2和易于处理的模7。注意，此硬度为

硬度，不＃P-硬度。我相信，复杂度mod其他值是开放的。后来，蔡金一和卢品言给出了所有

牵引性。

k

$k$

n = 2^{k} - 1

$n = 2^k - 1$

k = 3

$k=3$

\oplus P = #_{2} P

$\oplus P = \#_2 P$

k

$k$

— 泰森·威廉姆斯

2

有关此的更多信息，包括论文参考，请参阅Wikipedia上的Holographic_algorithm＃History。

— 泰森·威廉姆斯

21

INDEPENDENT SET对于无（交叉，三角形）的图是NP完全的，但是对于无（无椅子，三角形）的图，可以在线性时间内求解。（无X图是那些不包含来自X的图作为诱导子图的图。）

椅子： ISGCI的主席图图像三角形： ISGCI的三角图的图像交叉： ISGCI交叉图的图像

请注意，交叉是通过添加单个边缘从椅子获得的。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
source

12

这个更简单的示例呢：对于

图，INDEPENDENTENT SET是NP-c ，但是对于

（无爪）图，可以在线性时间内求解。

K_{1, 4}

$K_{1,4}$

K_{1, 3}

$K_{1,3}$

— vb le

19

我不确定我是否会同意您的描述，即在输入中添加单个边会导致问题NP完全，因为实际上是允许将边添加到无限多个输入实例中的每个实例中。

这是一个问题的示例，该问题显示出您所建议的思路上的尖锐二分法。

当H是具有自环的图或二部分无环图时，确定从输入图G到固定模板图H是否存在图同质的问题在P中。当H不是二分法时（通常可以通过添加单个边来实现），那么问题就变成了NP完全问题。

P. Hell和J.Nešetřil，《 H色的复杂性》， J。Comb 。。B 48 92–110，1990 . doi：10.1016 / 0095-8956（90）90132-J

此处的关键是2色在P中（这对应于3个顶点上的路径的同态），而3色是NP完全的（这对应于三角形的同构）。 $P_3$ $K_3$

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
source

14

这是在诱导子图检测中提出的另一个有趣的示例：

甲THETA是与非相邻的顶点的图 $x,y$ ，三条路径 $P_1, P_2, P_3$ 从 $x$ 到 $y$ ，其中任何两个路径诱导的长度大于3的循环。

甲金字塔是一个图与顶点 $x$ ，三角形 $y_1,y_2,y_3$ 和路径 $P_i$ 从 $x$ 到 $y_i$ 每个 $i=1,2,3$ ，用一个长度至多一个路径。

最后，棱镜是具有两个三角形的曲线 $x_1,x_2,x_3$ 和 $y_1,y_2,y_3$ 和路径 $P_i$ 从 $x_i$ 到 $y_i$ 每个 $i=1,2,3$ 。

用数字很容易描述：

θ，棱镜和金字塔

为了检测诱导的θ和棱锥，已知是在多项式时间内。（实际上，最著名的theta算法需要 $O(n^{11})$ 时间，而金字塔的算法则需要 $O(n^9)$ 。）但是对于检测诱导棱镜，这个问题变得很困难。

可以参考Leveque，Lin，Maffray和Trotignon的“ 检测诱导子图 ”作为参考。θ和金字塔相对容易的原因与Chudnovsky和Seymour 在“ 三棵树中的问题 ”中描述的“三棵树”问题有关。

— 张显之张显之
source

13

嗯...我确定您正在寻找的例子比较简单...但是我想指出的是，数字与有一些特殊之处。到， vs ，等等。直觉上，我一直认为这是因为最多包含2条边的节点最多可以形成一条线，但是具有3条边的节点可以形成一棵树，当我们从2-3移开时，会发生组合爆炸。 $2$ $3$ $2-SAT$ $3-SAT$ $2-COL$ $3-COL$

— 加布高
source

9

另一方面，MAX 2SAT很难。所以2没什么特别的。

— Suresh Venkat 2010年

1

2 AND完美完整性似乎很特别。:)

— Daniel Apon

此外，2D完美匹配与3D完美匹配。

— Mohammad Al-Turkistany

13

我认为谈论实例没有多大意义。我们可以讨论具有不同难度的输入实例的两个分布，但是如果分布之间或分布中的实例之间存在关系，将会更有趣。

我们可以考虑参数化的分布族，然后讨论更改参数时会发生什么。您可能会对所谓的阈值现象感兴趣，即“由于参数的微小变化，系统经历了快速的质变……”。看一下这项调查：Ehud Friedgut，“ 寻找尖锐的阈值 ”，随机结构算法26，2005年。

我认为最引人注目和最漂亮的例子之一是子句密度为的随机k-SAT ，其相变确实令人惊讶。 $\Delta$

— 卡韦
source

11

推断类型lambda项是DEXPTIME完成与prenex和秩2多态型系统（当类型量词嵌套至多一层深），但变得不可判定用于秩3和更高。奇怪的是，一个额外的嵌套级别会使问题无法确定。

— 亚历克斯·鲁宾斯坦
source

10

磁场为0的平面Ising模型的基态求为P，非零磁场为NP-hard。磁场为0的平面Ising模型的分区函数为P，非零磁场为NP-hard。

— 雅罗斯拉夫·布拉托夫（Yaroslav Bulatov）
source

9

这是一个很好的问题，它具有有趣的复杂性跳跃，例如您在问题中解决的“最小带宽”。

令为图，为的生成树。一个边沿迂回是唯一 - 在路径。的拥塞，记为是包含弯路的数量。在的拥塞，用 $G$ $T$ $G$ $uv\in E(G)$ $u$ $v$ $T$ $e \in E(T)$ $\mathrm{cng}_{G,T}(e)$ $e$ $G$ $T$ 是所有边缘上的最大拥塞。生成树拥塞的，记为，已经结束的生成树的最小拥塞。生成树拥塞问题询问给定的图最多是否有给定的有生成树拥塞。 $\mathrm{cng}_G(T)$ $T$ $G$ $\mathrm{stc}(G)$ $G$ $k$

下面复杂跳跃示于：。Bodlaender等人， 生成树拥塞的参数化复杂性问题，Algorithmica 64（2012）85-111：

对于每个固定的和，对于度为图，问题可以在线性时间内解决。相反，如果我们允许只有一个无限度顶点，问题立即成为为任何固定-complete 。 $k$ $d$ $d$ $\mathsf{NP}$ $k\ge 8$

— vb le
source

8

我不知道为什么没人提到这个：

牛角卫星与K卫星

我想每个人都知道这是什么。如果不：

Horn-Sat将查找一组horn子句是否可满足（每个子句最多具有1个正文字）。

K-Sat将查找一组子句是否可满足（每个子句可以具有多个正数）。

因此，在每个子句中使用一个以上的正文字会使P-complete NP-complete产生问题。

— 乔治
source

7

图形着色

如另一个答案中所述，2-COL在多项式时间内是可解的，而3-COL是NP完全的。但是，当增加颜色数量时，经过一些（未知？）点之后，问题就会变得更加容易！

例如，如果我们有N个顶点和N个颜色，则可以通过为每个顶点分配不同的颜色来解决该问题。

— 乔治
source

任何平面图都是4色的。[1]：projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/...

— rphv

6

同样，永久性与行列式。

— 贾加迪什语
source

3

与问题和其他答案中讨论的其他硬度跃变相比，电烫和det之间的差异实际上要大得多，并且种类也不同。否定非常强大：从某种意义上讲，这是使我们可以轻松计算det而不是烫发的原因。瓦兰特（ Valiant）发表了一篇论文，“ 否定性可以成倍地强大” portal.acm.org/citation.cfm?id=804412 ; 许多下限因单调复杂度而闻名（即使在代数模型中，单调性也排除了否定和负常数），但是很少有下限转化为非单调复杂度。

— 约书亚·格罗肖

3

另一个例子：对于Strassen算法乘以2x2矩阵，求反也是必要的。没有它，您将无法击败2x2矩阵相乘的简单算法。

— Joshua Grochow

6

我刚刚读了一篇有关超图分区的论文。问题定义如下：

$k$ $l$ $1 \leq l < k$ $P^l_k$ $\mathcal{H} = (V, \mathcal{E})$ $t_1, \dots, t_k$ $|V| = n = \sum^k_{i=1} t_i$ $|\mathcal{E}| = m$ $V$ $k$ $t_1, \dots, t_k$ $\mathcal{E}$ $l$

通常，已证明：

$P^1_k$ $n,m$ $k \geq 2$
$P^l_k$ $2 \leq l < k$

如果这还不够，请继续阅读。对于具有不相交超边的超图，显示如下：

$P^1_k$ $k \geq 2$
$P^l_k$ $m$ $2 \leq l < k$

Laurent Lyaudet。2010。超图分区的NP硬和线性变体。理论。计算科学 411，1（2010年1月），10-21。http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2009.08.035

— 拉斐尔
source

5

有趣的复杂性跳跃因作业车间调度问题而闻名。

$n$ $M$ $m$ $j$ $\mu_j$ $O_{1j},O_{2j},\dots,O_{\mu_jj}$ $O_{ij}$ $p_{ij}$ $m_{ij}\in M$ $C_j$ $j$

$C_{max}=max_jC_j$ $\sum C_j$

$J||\gamma$ $\gamma$

$J2|n=k|F$ $J|n=2|F$ $J2$ $(n=k)$ $2$ $(k)$ $F$

$J3|n=3|C_{max}$ $J3|n=3|\sum C$

$J2||C_{max}$ $J2||\sum C$

因此，在这里我们可以看到，当我们从两个作业/机器转到三个作业/机器时，会有一个跳跃。

— 奥列克桑德·邦达连科（Oleksandr Bondarenko）
source

1

很好，我对特殊术语感到困惑。您能否简化术语（甚至最好删除它）？

— Mohammad Al-Turkistany 2010年

1

$\ln n$ $(1-o(1))\ln n$

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
source

0

$2^n$ $2^n$ $(a+b)^n=\sum_{i\in{0..n}}{{n}\choose{i}}a^ib^{n-i}$ $p_b(a)$ $a=b=1$ $2^n=p_1(1)$ $DTIME(2^n)$ $(k<n)$ $P=NP=DTIME(2^n)$ $P=NP$

— 伊莎·普尔基宁
source