在逻辑和其他形式证明系统中显示不可导性的技术

在古典命题逻辑证明系统，如果一个想要显示某种公式不是衍生一个简单地显示，可以衍生（虽然其它技术当然也是可能的）。不可推导性基本上取决于证明系统的健全性和完整性。 $\psi$ $\neg\psi$

不幸的是，对于非经典逻辑和更奇特的证明系统（例如，操作语义基础的规则），不存在这样的直接技术。这可能是由于非可导并不意味着可衍生，如与直观的逻辑的情况下，或者干脆说没有否定的概念出现。 $\psi$ $\neg\psi$

我的问题是给定一个证明系统，其中 $(\mathcal{L},\vdash)$ ，（大概是它的语义），存在哪些技术来显示非可导？ $\vdash\;\subseteq\mathcal{L}^*\times\mathcal{L}$

感兴趣的证明系统可能包括编程语言的操作语义，Hoare逻辑，类型系统，非经典逻辑或针对您所拥有的推理规则。

lo.logic

— 戴夫·克拉克
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戴夫，我觉得有一个错字的问题，表明

是不可派生我们并不表明

是推导，我们只是表明它是一致的，而这仅仅是基于经典逻辑的一致性。如果逻辑是一阶经典逻辑，那么有些句子既不能证明也不能反驳（除非我们谈论的是完整理论）。还是我误读了你的问题？

φ

$\varphi$

\neg φ

$\lnot \varphi$

— 卡夫

我将其更改为经典命题逻辑。这个问题要求除了证明否定之外还需要任何技术，因为许多形式系统（公理和推理规则的集合）没有否定，或者实际上甚至看起来都不像“逻辑”。

— 戴夫·克拉克

感谢您的澄清，当我阅读经典逻辑时，默认情况下我会去看一阶逻辑。:)

— 卡夫

IME，以下列表最容易实现（当然，最不容易实现）：

如果你的系统是健全的，而且你能证明，那么你当然是nonderivability结果。 $\lnot \phi$
如果您的逻辑具有格理论的语义，所有证明规则都相对于格理论理论有效，那么，如果命题的含义不是格的最高元素，那么它就不是可派生的命题。
如果您知道关于一类模型的逻辑是完整的，请检查该类中是否存在使无效的特定模型。 $\phi$
有时，您可以避免转换为另一种逻辑，并证明此处的可导性暗示那里的已知不可导性结果。
如果您有自然演绎或后续演算，请检查是否有已知的消除结果，或者您可以证明一个结果。如果存在，那么您通常可以利用subformula属性来提供有关不可导性的简单归纳参数。（例如，通过裁切消除的一致性只是没有裁切的伪造证明的陈述，因此，如果可以消除所有裁切，就不会出现不一致的情况。）
如果没有其他效果，那么您通常可以通过逻辑关系参数显示一致性/不可导性结果。这是一门大枪，在别无所求的情况下才起作用-从集合论的角度讲，它归结为使用了替换公理，它可以让您证明庞大的集合是井井有条的。（这就是为什么您可以使用它来证明诸如系统F规范化之类的原因。）

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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好吧，如果我没记错的话，可以在

证明

归一化，所以不需要替换。

F

$F$

P A^{2}

$PA^2$

— 卡夫

F^{2}

$F^2$

谢谢，我现在明白“系统F标准化之类的东西”的含义。:)

— Kaveh

@ Kaveh，@ Neel：系统F的强规范化不是PA2的一个定理，而是在PA上等同于PA2的一致性。而是，可以使用ACA- n证明对秩n的所有项（秩是nsted类型量化器的最大深度的度量）的强归一化。我喜欢谈论秘密构造捆模型的故事……

— 查尔斯·斯图尔特

@查尔斯：我从让·加里尔（Jean Gallier）的一些论文中得知了这个主意，令人惊讶地是引用不足。有点反常的是，这种奇特的观点帮助我理解了Mitchell＆Scedrov的简单说法。

— Neel Krishnaswami