为什么互补松弛很重要？

在谈论对偶性时，通常会教互补松弛（CS）。从数学的角度来看，它在原始约束和对偶约束/变量之间建立了良好的关系。

申请CS的两个主要原因（如研究生课程和教科书中所述）：

1. 检查LP的最优性
2. 帮助解决双重问题

从实用的角度来看，考虑到当今解决LP的计算能力和多项式算法，CS仍然有意义吗？我们总是可以解决双重问题，并解决以上两点。我同意在CS的帮助下解决双重问题“效率更高”，是吗？还是CS不仅满足您的需求？除了以上两点，CS到底在哪里有用？在谈论近似算法时，我经常看到涉及CS概念的文章，但我不了解它在其中的作用。

互补松弛度是设计原始对偶算法的关键。基本思想是：

1. 从可行的双重解决方案开始 $y$。
2. 尝试发现原始可行 $x$ 这样 $(x, y)$ 满足补充的懈怠。
3. 如果步骤2成功，我们就完成了。否则阻碍寻找$x$ 提供一种修改方法 $y$这样对偶目标函数值会增加。重复。

一个典型的例子是匈牙利算法。福特-福克森算法可以看作另一个例子。请注意，步骤2是一个可行性问题，它通常比原始优化问题更容易解决，并且通常也可以组合解决。这就是补充松弛的力量。例如，在最低成本两方匹配的情况下，步骤2等同于检查是否存在仅使用紧边的完美匹配。在最大的情况下$s$--$t$ 流程，步骤2等于检查饱和边是否分开 $s$ 和 $t$。

双重对偶算法很好，原因很多。从哲学上讲，它们比通用算法提供了更多的见识。它们通常提供强多项式时间算法，而我们仍然没有强多项式LP解算器。它们通常比通用算法更实用。如果我们不能明确地写下LP，而我们唯一的选择是椭球算法，则这尤其正确，非二分匹配和Edmonds的原始对偶算法就是这种情况。

通过使用互补松弛的松弛版本，Primal-dual也是用于近似算法的非常有用的框架。这在设计用于NP难题的近似算法（例如参见Williamson-Shmoys书的第7章）以及设计具有良好竞争比的在线算法（请参阅Buchbinder和Naor的书）中很有用。这里的要点是算法维护了一个解决方案$y$LP解决一个难题的对偶，并且在每个步骤中都找到一个整体式原始可行$x$从而满足近似的互补松弛度，或改善对偶解$y$。近似互补松弛是以下形式的条件：$x_i > 0$ 则对应的双重约束是严格的，如果 $y_j > 0$，如果 $x$ 被缩放 $\alpha$。这给出了一个近似系数$\alpha$。以上两个来源都对它进行了很好的解释。