找出最短路径的无用边缘

考虑图（该问题对于有向图和无向图都有意义）。呼叫的距离的矩阵：为顶点的最短路径距离到顶点在 $G$ $M_G$ $G$ $M_G[i, j]$ $i$ $j$ $G$ $+$ $\max$

我说如果，则的子图（具有相同的顶点集）与等效。换句话说，去掉从到边不会改变最短路径的长度。对于任何最短路径，都不需要去除边缘。 $G'$ $G$ $G$ $M_G = M_{G'}$ $G$ $G'$

通常，没有单个 sp等效子图 $G$ 包含的最小值。例如，如果 $G$ 是无向和所有边缘具有重量 $0$ 中任生成树 $G$ 是最小的SP-等效子图（事实上，在一个周期内的任何边缘可以被移除，但断开顶点对明显变化的距离）。不过，我仍然可以调用的边缘 $G$ 无用的，如果他们在没有最小的SP-相当于子，必要的，如果他们在所有最小的SP-相当于子图（即，在它们的交点），以及可选的，如果他们在其中一些（即）。

我的第一个问题是：这些概念是否具有标准名称？

我的第二个问题是：根据是无向还是有向以及聚合函数，以这种方式对的边缘进行分类的复杂度是多少？ $G$ $G$

（例如，对于 $G$ 无向和 $\max$ ，最小sp等效子图是具有最小权重的生成树，因此至少如果所有边缘权重不同，则可以通过计算唯一的最小生成树轻松地计算分类，但是通常我不知道事情如何运作。）

— 3纳米
source

“例如，如果G是无向且无权的，则G的任何生成树都是最小的sp等效子图。” 似乎并非如此：在所有距离均为，但生成树都不具有此属性。实际上，没有子图可以。否则，这听起来像扳手en.wikipedia.org/wiki/Graph_spanner#Distance

K_{n}

$K_n$

1

$1$

K_{n}

$K_n$

— Sasho Nikolov

实际上，对于任何无向非加权图，都不存在sp等效子图：如果子图不包括边，则。

G

$G$

G^{'}

$G'$

(u, v)

$(u, v)$

1 = M_{G} [u, v] < M_{G^{'}} [u, v]

$1 = M_G[u, v] < M_{G'}[u, v]$

— Sasho Nikolov 2014年

我认为我们至少可以说识别就像所有对最短路径一样容易：如果存在一条边但是从到的最短路径比该边短，那么该边“无用” （在任何情况下，我们都应始终使用较短的路径代替此边缘）；相反，如果一条边“无用”，那么从到路径长度必须比该边的长度短。因此，只需遍历边缘并检查路径是否比该边缘短即可。（以上是通常的最短路径，没有考虑聚合规则。）

(u, v)

$(u,v)$

u

$u$

v

$v$

u

$u$

v

$v$

max

$\max$

— usul 2014年

您可能需要查找“距离保持器”

— arnab 2014年

Sasho Nikolov：对不起，对于无向图和无权图，我的意思是权重为0的边，而不是1。

— 2014年

如果您正在寻找一种命名（或表征）这些边缘的方法，则称它们为“无用”和“必需”，您可以将它们称为中间居中性= 0和= 1的边缘。在所有对最短路径的时间间隔内，每个边缘可以分类为具有= 0，= 1或in（0,1）中间性度量。

这是对网络边缘的一项经过充分研究的度量，并且有快速算法可以在删除边缘时更新所有边缘的中心度得分（但我不确定其他扰动）。

我见过的大多数网络分析都内置了中心性功能，并且有一个定义也适用于有向图：

（编辑：我最初给出的链接仅讨论节点中间性中心性，但是这是我能找到的唯一讨论边缘中间性中心性的维基百科文章：http : //en.wikipedia.org/wiki/Girvan%E2%80%93Newman_algorithm 不过，边缘之间的间隔是一种标准度量，通常可以在网络分析包中找到。）

— 吉姆
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我认为节点之间的中心性和边缘之间的中心性之间的区别是无关紧要的，因为您总是可以将中间节点添加到边缘，或者将节点复制并从一个副本向另一个副本添加一个边缘，以将一个定义减少到另一个。这是一个有用的指针，感谢您使我意识到这一点！

— 2014年