基于傅立叶变换以外的变换的量子算法

他们在Nielsen和Chuang的《量子计算和量子信息》中说，许多基于量子傅立叶变换的算法都依赖于傅立叶变换的Coset不变性，并建议其他变换的不变性可能会产生新的算法。

在其他转换方面是否有任何富有成果的研究？

我想为Scott的评论添加更多参考：

确实，克莱布斯-戈登（Clebsch-Gordan）变换（您可以将其视为多寄存器量子傅立叶变换）是用于设计非阿贝尔隐子群问题（HSP）的量子算法的有用工具。

• Greg Kuperberg和Oded Regev使用Clebsch-Gordan变换在次指数（至今是超多项式）时间内求解二面HSP。这些量子算法效率不高，但查询复杂度比经典算法高。

• $\mathbb{Z}_p^2\rtimes \mathbb{Z}_p$

我在写信时还补充道，我们不要忘记量子傅立叶变换和克莱布施-哥丹变换都不总是必不可少的，即使它们非常有用。

• 在Shor的算法中（甚至在量子相位估计中），傅立叶变换可以用Hadamard检验代替，因此只能使用Hadamard门而不是傅立叶变换：这个技巧归功于Kitaev，您可以在这里阅读。

• Bacon，Childs，Van Dam的上还有另一种高效的HSP 算法，它不使用Clebsch-Gordan变换。取而代之的是，该算法使用某种类型的功能强大的POVM（称为“很好的测量”）。$\mathbb{Z}_p^2\rtimes \mathbb{Z}_p$

当然，此列表可能不完整。我希望有人指出尚未提及的其他结果。

不知道这是否与您的问题直接相关，但是阅读它使我想到了几年前我读过的PeterHøyer的一篇文章。在其中，他展示了格罗弗（Grover）或索尔（Shor）等最流行的量子算法如何遵循应用所谓的“共轭算子”的相同模式，并且他也基于相同的模式构建新算法。

正如我说的，我已经读了几年了，所以我的描述有些草率，但是如果您想查看一下，这里是链接。

http://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.59.3280