线性方程组求解的复杂性

关于在某个有限域上求解线性方程组的复杂性，人们知道什么？我知道有一个$O(n^3)$计算解决方案的算法（Gauss），对于稀疏系统，甚至有更好的算法。但是，我想知道这个问题是否存在某种复杂性理论。例如，是否存在相应的决策问题？是否对任何复杂性课程都完整？$\mathbf{NC}$

我不确定这是一个研究水平的问题，但是通过 $\mathbb F_p$ 是一个 $\mathrm{Mod}_p\mathrm L$-完全问题，因此特别是在$\mathrm{NC}^2$。更一般地，线性代数$\mathbb F_{p^k}$ （至少 $k$ 固定）可以减少到 $\mathbb F_p$ 案件。

30多年来众所周知的结果是， $\mathbb F_2$ 可以通过各种分解来完成 $O(n^\omega)$，在哪里 $\omega$ 是矩阵乘法常数。

参考文献：

Ibarra，O.，Moran，S.和Hui，R.1982。快速LUP矩阵分解算法和应用的概括。算法学报3，45 {56。

Jeannerod，C.-P。，Pernet，C.和Storjohann，A.2011。等级分布揭示了高斯因消除和CUP矩阵分解。