扩展图中长诱导路径的存在

比方说，一个图形家庭已久诱导路径，如果有一个恒定的，使得每个图形在包含感应路径顶点。我对图族的属性感兴趣，这些属性可确保存在长诱导路径。特别是，我目前想知道恒定度扩展器是否具有较长的诱导路径。这就是我所知道的。 $\mathcal{F}$ $\epsilon > 0$ $G$ $\mathcal{F}$ $|V(G)|^{\epsilon}$

具有恒定平均度的随机图（在Erdős-Rényi模型中）具有很长的概率（甚至线性大小）的诱导路径，且概率很高。参见例如Suen的文章。
唯一邻居扩展图（由Alon和Copalbo定义）具有大的诱导树。实际上，在这种图中，任何最大的诱导树都是很大的。

鉴于这两个事实，我希望对数度扩展器具有较长的诱导路径。但是，我找不到任何具体结果。非常感谢任何见解。

graph-theory expanders

— 巴特·詹森
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如果您的有界度图同时具有恒定扩展和周长的特性，则答案应该是肯定的。这个论点是：对于开始于一个顶点，然后步走，其中的每一步是随机选择那些不带我们回到我们在那里之前步骤中散步。（因此，如果图是正规的，则每一步都有随机选择。） $\Omega( \log n)$ $n^\epsilon$ $d$ $d-1$

$i$ $j$ $i$ $j$ $i$ $j$ $n^{-\Omega(1)}$ $\epsilon$ $1-o(1)$

如果小于周长，则和之间的边的概率仅为零。如果，则图的展开应足以证明边的存在以概率。这是因为，对于固定的起始顶点，在等于周长的多个步数之后，步行的分布在一组大小是均匀的，因此碰撞概率为 $|i-j|$ $i$ $j$ $j> i+ \Omega(\log n)$ $(i,j)$ $n^{-\Omega(1)}$ $v$ $n^{\Omega(1)}$ $n^{-\Omega(1)}$ ; 随后的每个步骤都应仅降低碰撞概率（对于实际的随机游走来说确实如此，但对于这种非回溯游走也应该如此），因此，分布的碰撞概率以及最小熵保持不变，击中的邻居之一的概率也为。 $n^{-\Omega(1)}$ $O(1)$ $v$ $n^{-\Omega(1)}$

— 卢卡·特雷维森（Luca Trevisan）
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Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$