问题

我有一个无向图（带有多边），它会随着时间而变化，可能会插入和删除节点和边。在对图进行每次修改时，我都必须更新该图的连接组件。

物产

其他特性是，不会再有两个组件被重新连接。显然，该图可以具有任意数量的循环（否则该解决方案将是微不足道的）。如果边缘不包含节点n，则它将永远不会采用该节点。但是，如果Ñ ∈ Ë，它可以改变ñ ∉ Ë。$e$$n$$n \in e$$n \notin e$

方法

到目前为止，我有两种可能的方法，但是如您所见，它们很可怕：

慢无状态

我可以每次从修改后的元素开始搜索（dfs / bfs）图形。这样可以节省空间，但速度很慢，因为每次修改的O（n + m）为。

有状态快速（-er）（？）方法

我可以存储每个节点到所有可能节点的所有可能路径，但是如果我正确看到它，则会占用O（n ^ 4）内存。但是我不确定运行时的改进如何（如果有的话，因为我必须使同一组件中每个节点的信息都保持最新）。

题

您是否有任何指点，如何了解有关该问题的更多信息，或者可以建立一些算法？

注意

如果运行时/内存有了很大的改进，我可以使用非最佳解决方案，该解决方案有时会说两个组件是一个组件，但是我当然更喜欢一个最佳解决方案。

在对数时间中，有几种支持边缘插入，边缘删除和连接性查询的数据结构（这两个顶点在同一连接的组件中吗？）。

• 莫妮卡·R·亨辛格和瓦莱丽·金。 每次操作具有对数时间的随机全动态图算法。 ACM杂志 46（4）：502-516，1999年。

• Jacob Holm，Kristian de Lichtenberg和Mikkel Thorup。聚对数确定性完全动态算法连通性，最小生成树，2-边缘，和biconnectivity，ACM学报 48（4）：723-760，2001。

• 米克尔·索鲁普（Mikkel Thorup）。 接近最佳的全动态图连通性。 程序 第32条STOC 343-350，2000年。

我认为您正在寻找用于连接组件分解的动态图算法。Holm，de Lichtenberg和Thorup的算法[HLT01]在每次边缘更新时均摊销了对数时间。自上次我看问题以来已经很久了，所以可能会有新的进展。

[HLT01] Jacob Holm，Kristian de Lichtenberg和Mikkel Thorup。用于连接性，最小生成树，2边和双连接性的多对数确定性全动态算法。 ACM学报，48（4）：723-760，2001年7月 http://doi.acm.org/10.1145/502090.502095

（现在，让我只处理连接性查询，不幸的是，这可能不足以适合您的应用程序。）

关于动态连通性问题的许多先前工作是在边更新模型中进行的：您假设顶点的数目是固定的，并且可以在进行查询时插入和/或删除边。如果只能插入（删除），则表示增量（减少）。如果两者都能做到，那是完全动态的。JeffE（以及我自己在评论中）指出的Thorup的工作全部用于边缘更新。

AFAIK，CS理论社区只是开始着眼于一般图形的顶点更新。Chan，Pătraşcu和Roditty在FOCS 2008中对此进行了开创性的工作。有关最新修订（2010年9月）和其中的参考，请参见此链接。