是否有一个一般的定理可以说明，如果适当地进行了清理，当只考虑可计算的实数时，实际上可以使用有关实数的大多数已知结果吗？还是仅考虑可计算实数时对结果的适当表征仍然有效？附带的问题是，关于可计算实数的结果是否可以在不必考虑所有实数或任何不可计算的事物的情况下得到证明。我在特别考虑微积分和数学分析，但我的问题绝不仅限于此。
实际上，我想存在一个与图灵层次结构相对应的可计算实数层次（是否正确？）。然后，更抽象地讲，存在一个实数的抽象理论（我不确定该用什么术语），为此可以证明许多结果，这些结果将适用于传统的实数，但也适用于可计算的实数，并且到图灵可计算实数层次的任何级别（如果存在）。
那么我的问题可能是这样说的：当对传统实在的事实进行证明时，是否存在对抽象的实在理论适用的结果表征？而且，这些结果可以直接在抽象理论中得到证明，而无需考虑传统实数。
我也有兴趣了解这些实在理论如何以及何时发生分歧。
附言：我不知道在哪里适合我的问题。我意识到，很多关于真实的数学已经通过拓扑进行了概括。因此，可能可以在此处找到我的问题的答案或部分答案。但是可能还有更多。
Answers:
实数可以用两种方法来表征，让我们使用考西完整的阿基米德有序字段。（我们需要小心一点，我们究竟怎么说这个，见定义11.2.7和确定指标11.2.10的的HOTT书。）
以下定理是任何有效的TOPOS（高阶直觉逻辑的模型）：
定理：存在一个柯西完备的阿基米德有序字段，实际上任何两个这样的字段都是规范同构的。
此外，在直觉逻辑中（不要与直觉主义相混淆），我们可以进行很多真实的分析（序列和极限，导数，积分，连续性，一致连续性等），然后在任何主题中都有效。如果我们使用集合的主题，我们将得到通常的真实分析。通过采用不同的topos，我们得到了不同类型的实数分析–并且有一个topos可以精确生成可计算的实数和可计算的实数分析。
当然，这是有效的topos，其中实数是可计算的实数（模糊地说，原因是有效的topos构造为可以自动计算其中的所有内容）。您问题的答案是
当我们在有效的主题中对可计算实数进行解释时，直觉现实分析中的定义，构造和定理会自动转换为关于可计算实数的定义，构造和定理。
您还询问真实分析与其可计算版本之间的“差异”。答案是，依赖于被排除的中间定律或选择公理的结果（尽管可以选择的选择是可行的）不是直觉的，因此不能在有效的论题中得到验证。但是，我们应该注意（与流行观点相反）大多数分析都可以凭直觉进行。
有效的主题只是许多可实现的主题之一。当我们将直觉分析解释为其他可实现性时，我们会得到实数可计算性的替代模型，包括您所暗示的使用oracle进行的计算。“相对Kleene函数可实现性目标”（无论是什么）提供了所谓的II型可计算性，其中可计算映射不仅在可计算对象上，而且还在所有实体上运行。
我曾尝试在笔记“可实现性作为可计算数学与构造数学之间的联系”中对此进行过解释，而在此之前，我曾在博士学位中作过解释。论文。