顶点集上具有等价关系的图同构

彩色图形可以描述为元组 $(G,c)$ 哪里 $G$ 是图 $c : V(G) \rightarrow \mathbb{N}$ 是着色。两个彩色的图 $(G,c)$ 和 $(H,d)$ 如果存在同构，则被称为同构 $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ 这样就可以遵守颜色 $c(v) = d(\pi(v))$ 对所有人 $v \in V(G)$ 。

这个概念在非常严格的意义上捕获了彩色图形的同构。考虑以下情况：您有两个相同区域的政治地图，但是它们使用不同的颜色集。如果问他们是否以相同的方式着色，则可以认为这意味着在两个颜色集之间是否存在双射映射，使得两个映射的颜色通过该映射重合。可以通过将彩色图形描述为元组来形式化此概念 $(G,\sim)$ 哪里 $\sim$ 是在的顶点集上的等价关系 $G$ 。然后我们可以说两个这样的图 $(G,\sim_1)$ 和 $(H,\sim_2)$ 如果存在同构，则是同构的 $\pi : V(G) \rightarrow V(H)$ 这样对于所有对 $v_1,v_2 \in V(G)$ 它认为

v_{1} \sim_{1} v_{2} iff π (v_{1}) \sim_{2} π (v_{2})

$v_1 \sim_1 v_2 \text{ iff } \pi(v_1) \sim_2 \pi(v_2)$

我的问题是，以前是否曾研究过这种概念以寻找规范形式等？

terminology graph-isomorphism equivalence

— 约翰·D
source

请不要使用“

=

$=$ “除了平等关系以外的任何事情！

— David Richerby 2014年

Answers:

尽管我无法指出文献中的任何特定参考文献，但您描述的问题已经得到了绝对的考虑（我记得在读研究生时就已经讨论过了，当时已经讨论了很久了）。可能是因为它在线性上等同于无色图同构，如下所示（即使对于规范形式也是如此）。呼叫您描述EQ-GI的问题。

GI只是EQ-GI的特例，其中每个图只有一个由所有顶点组成的等价类。

另一方面，要将EQ-GI减少为GI， $(G, \sim_G)$ 成为具有等价关系的图 $n$ 顶点 $m$ 边缘和 $c$ 等价类。构造图 $G'$ 其顶点集由的顶点组成 $G$ ，以及新的顶点 $v_1, \dotsc, v_c$ ，每个等价类中的一个 $=_G$ ，以及 $n+c+1$ 新顶点 $w_0, \dotsc, w_{n+c}$ 。连接 $w_i$ 的路径 $w_0 - w_1 - w_2 - \dotsb - w_{n+c}$ ，连接每个 $v_i$ 至 $w_0$ ，以及其中的每个顶点 $G$ ，将其连接到对应的等价类顶点 $v_i$ 。然后 $G'$ 最多 $n + 2c + n +1 \leq O(n)$ 顶点和可以在基本上相同的时间范围内构造。（最多也有 $m + n + c + (n+c+1) \leq m + 4n + 1 \leq O(m+n)$ 边缘-这是 $O(m)$ 对于连接的图-但这并不重要，因为大多数GI算法的运行时间基本上只取决于 $n$ ）

更新：由于注释中有些混乱，因此我在此处添加了上述参数的正确性的草图。给定 $(G_1, \sim_1)$ 和 $(G_2, \sim_2)$ ，让 $G_1'$ 和 $G_2'$ 是如上构造的图；让 $v_{i,1}$ 表示顶点 $v_i$ 从上方 $G_1'$ 和 $v_{i,2}$ 在一个 $G_2'$ ，类似地 $w_{i,1}$ 和 $w_{i,2}$ 。如果有同构 $G_1' \cong G_2'$ ，它必须发送 $w_{i,1}$ 至 $w_{i,2}$ 对所有人 $i$ ，因为在每个图中 $w_{n+c}$ 是唯一的顶点，它是至少任何长度路径的终点 $n+c+1$ 。特别是， $w_{0,1}$ 映射到 $w_{0,2}$ 。自从邻居 $w_0$ 那不是 $w_1$ 正是 $v_i$ ，同构必须映射集合 $\{v_{1,1},\dotsc,v_{c,1}\}$ 到集合 $\{v_{1,2},\dotsc,v_{c,2}\}$ （尤其是两者 $\sim_1$ 和 $\sim_2$ 必须有相同的号码， $c$ ，等价类）。注意同构不需要发送 $v_{i,1}$ 至 $v_{i,2}$ 对所有人 $i$ ，但可以置换 $v$ 只要对应的等效类可以相互映射即可。相反，基于此描述之间的同构 $G_1'$ 和 $G_2'$ 可以看，很容易看到 $(G_1, \sim_1) \cong (G_2, \sim_2)$ 然后就得到同构 $G_1' \cong G_2'$ 。

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
source

据我了解，减少费用存在根本问题。基本上，您可以在每个等价类的一组顶点上实施唯一不变性属性。在这种情况下，您选择顶点的偏心率作为不变属性。对于图

G

$G$ 让

f

$f$ 是一种着色。让我们说

=_{f}

$=_f$ 是由引起的等价关系

f

$f$ ，即

u =_{f} v

$u =_f v$ iff

f (u) = f (v)

$f(u) = f(v)$ 。

— 约翰D.

现在，考虑将EQ-GI简化为彩色GI。根据您的意见进行输入

(G, =_{1}), (H, =_{2})

$(G,=_1),(H,=_2)$ 它应该足以通过

G, H

$G,H$ 并选择颜色

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$ 导致

=_{1}, =_{2}

$=_1,=_2$ 。这里的问题是

(G, c) ≅ (H, d)

$(G,c) \cong (H,d)$ 暗示

(G, =_{c}) ≅ (H, =_{d})

$(G,=_c) \cong (H,=_d)$ 但是另一个方向不一定正确，因为我们不知道先验的两组等效类之间的对应关系。

— 约翰D.

换句话说，由于约束更加复杂，我无法看到仅通过图形转换就完全不可能将EQ-GI还原为彩色GI。但是很明显，您的构造可以将彩色GI减少为GI。

— 约翰D.

@ user17410 EQ-GI 是彩色GI。“打电话给您描述EQ-GI的问题。” 图转换肯定有可能将EQ-GI简化为GI：实际上，可以解决与GI的关系结构上的任何同构问题。约书亚的减免对我来说似乎是正确的。我曾想过一个稍微简单一点的方法，它会添加更多的顶点。

— David Richerby 2014年

你的正确论据使我信服。抱歉，在花时间分析您的减少量之前，我急于得出结论。

— 约翰D.

我读了您在约书亚记正确答案中的最后评论；如果您需要将EQ-GI转换为有色GI（即，您对分配给等效类的颜色有麻烦），可以使用以下简化方法：

假设起始图是 $G_1 = (V_1, E_1)$ ， $G_2 = (V_2, E_2)$ 并且有 $q$ 等价类然后您可以向每个图添加一个“置换器”，即一个完整的图 $|V_1|+1=|V_2|+1$ 节点（ $K'_{|V_1|+1}$ ， $K''_{|V_2|+1}$ ）和使用 $q+1$ 颜色 $c_1,...,c_q,c_{q+1}$ 。

同时 $K'$ 和 $K''$ ， $q$ 节点被区分和着色 $c_1,...,c_q$ 其余节点用 $c_{q+1}$ 。的节点 $G_1$ 用颜色上色 $c_{q+1}$ 和相同等价类中的节点链接到 $K'$ ; 的节点 $G_2$ 用颜色上色 $q+1$ 和相同等价类中的节点链接到 $K''$ 。

另请注意，您可以删除颜色并获得等效的GI实例:-)

enter image description here
减少对应于您评论中的示例

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
source

这看起来很有希望。稍后我将检查正确性。

— 约翰D.

@ user17410：好的，如果您需要更多说明，请告诉我

— Marzio De Biasi 2014年