交集交集问题的复杂性

鉴于对称群和两个子组G ^ ，ħ ≤ 小号Ñ，和π ＆Element; 小号Ñ，确实ģ π ∩ ħ = ∅保持？$S_n$$G, H\leq S_n$$\pi\in S_n$$G\pi\cap H=\emptyset$

据我所知，该问题称为陪集交集问题。我想知道有什么复杂性？特别是，这个问题是否存在于coAM中？

而且，如果将限制为阿贝尔阶，那么复杂度会变成什么呢？$H$

适度的指数时间和（对于与上述问题相反的问题：如果Coset相交，则通常认为Coset Intersection具有“是”的答案，与OQ中的相反）。$\mathsf{coAM}$

Luks 1999（免费作者的副本）给出了时间算法，而Babai（参见他的1983年博士学位论文，也见Babai-Kantor-Luks FOCS 1983，以及即将出版的期刊版本）给出了2 O （n ） -time算法。〜Ô（$2^{O(n)}$-时间算法，至今仍是最著名的算法。由于图同构简化为二次尺寸陪集交汇，改进这2〜ø（Ñ 1 / 4 - ε）将提高本领域中用于图同构的状态。$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{\tilde{O}(n^{1/4-\epsilon})}$

考虑补充，即在那里你被要求测试是否。正如我在指出这个答案，检测是否克＆Element; ⟨ 克1，... ，克ķ ⟩就是在NC ⊆ P [1]。所以可以推测克，ħ ∈ 小号Ñ和在多项式时间内测试是否克∈ ģ，ħ ∈ ħ和克π = ħ。这产生一个$G \pi \cap H \not= \emptyset$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k\rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$g, h \in S_n$$g \in G$$h \in H$$g \pi = h$$\text{NP}$上限，因此，您的问题出在。$\text{coNP}$

编辑：在[2，Thm。Thm。15]认为陪集相交问题是。如前所述这里，P。因此，在图7中，除非多项式时间层次崩溃，否则陪集交集问题不是NP完全的。此外，要注意这里，P。从图6可以看出，卢克斯证明问题是当H可以求解时，问题就在P中，其中包括H abelian 的情况。$\text{NP} \cap \text{coAM}$$\text{P}$$H$$H$

[1]  L. Babai，《 EM Luks＆A. Seress》。NC中的置换组。程序 1987年第19届ACM计算理论年会，第409-420页。

[2] L. Babai，S。Moran。Arthur-Merlin游戏：随机证明系统和复杂度等级层次结构。计算机与系统科学学报，第一卷。第36卷，第2期，第254-276页，1988年。