有限语言的XOR自动机（NXA）是否从循环中受益？

非确定性Xor自动机（NXA）在语法上是NFA，但如果一个单词的接受路径数为奇数（而不是NFA情况下的至少一个接受路径），则该单词被NXA接受。

很容易看到，对于有限的规则语言 $L$ ，存在一个最小的NFA，其中不包含任何循环（如果一个循环既可以从初始状态到达，又可以从初始状态到达接受状态，则您的语言就不会有限）。

对于NXA，情况不一定如此。

用表示语言 $xsc(L)$ 的异或状态复杂度， $L$

并通过 $axsc(L)$ 所述的无环的异或状态复杂 $L$ （即，它接受一个最小的无环NXA的大小 $L$ ）。

对于每种有限语言 $L$ ：
$a x s c (L) = x s c (L) ?$ $axsc(L)=xsc(L)\ ?$

— RB
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您能否举一个包含有限语言循环的NXA示例？

— Abuzer Yakaryilmaz 2014年

如果有循环，则可能有无限多个接受路径（如果允许

边），因此必须禁止

循环。

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

— Yuval Filmus 2014年

@Abuzer一个没有任何接受状态的状态自动机就是一个例子。我知道这是一个愚蠢的示例，但这是问题的关键，每个循环都是可移动的。

— domotorp 2014年

顺便说一句，您如何定义周期？导致接受状态的路径应该没有周期吗？

— domotorp 2014年

Answers:

我认为答案是肯定的。也许有一个更简单的证明，但是这里是使用线性代数的证明的草图。

像domotorp一样，我们将n状态XOR自动机的配置视为V = GF（2）^n中的向量。

令L为字母∑ = {1，…，k } 上的有限语言，并考虑状态数最少的L的XOR自动机。令n为状态数。我们假设状态标记为1，…，n，状态1是初始状态。

首先，我们设置符号。让v ₀ =（1，0，...，0）^Ť ∈ V是对应于初始状态的基本矢量，并让小号是行向量，其我个条目是1当且仅当状态我是接受状态。子空间- [R = { v：小号v = 0} V对应于被拒绝的配置向量。

对于每个一 ∈Σ，让甲_一个是Ñ × Ñ矩阵在GF（2），其表示由信过渡一个。例如，读取输入字符串a b之后的配置矢量是A _b A _a v ₀。为一个字符串σ = 一个₁ ... 一_吨，我们表示的产品甲_{一个_吨} ... 甲_一个₁通过中号（σ）。令S = { A ₁，…，A _k }。

子空间W¯¯的V据说是小号 - 不变的，当一个W¯¯ ⊆ w ^为每一个 ∈ 小号。在我们的上下文中，这意味着一旦配置向量进入W，就无法通过读取更多字母来摆脱W。

因为此XOR自动机的状态数最少，所以我们具有以下属性。

唯一š的-invariant子空间V包含v ₀是V本身。这是因为，如果W是包含v ₀的适当S不变子空间，则可以使用W代替V，这与极小值相矛盾。
R中包含的唯一S不变子空间是{0}。这是因为，如果W是R中包含的一个非平凡的S不变子空间，那么我们可以使用商向量空间V / W代替V，这又与极小值相矛盾。

因为L是有限的，所以使m为大于L中任何字符串的长度的整数。

引理1。对于任何长度至少为m的字符串σ，我们有M（σ）= 0。

证明。 首先，我们证明对于长度至少为m的任何字符串σ，我们都有M（σ）v ₀ = 0。令W为由{ M（σ）v ₀跨越的V的子空间：σ为长度至少为m的字符串。根据定义，W是S不变的。由于所讨论的XOR自动机拒绝这些字符串σ，因此W包含在R中。因此W = {0}，这意味着中号（σ）v ₀ = 0对于所有这样的字符串σ。

现在考虑任何向量v ∈ V。因为包含v ₀的V的唯一S不变子空间是V本身，所以对于某些字符串τ，v可以写为M（τ）v ₀形式的向量的线性组合。因为中号（σ）中号（τ）v ₀ = 中号（τ σ）v ₀= 0（从前面段落后者平等如下因为长度τ σ是至少米），它认为中号（σ）v = 0。■

我们需要线性代数的另一个事实。

引理2。设A ₁，…，A _k为一个场的n × n个矩阵，并如上所述定义M（σ）。如果有米 ≥0使得中号（σ）= 0对于每个字符串σ至少长度的米，则该矩阵阿₁，...，甲_ķ是同时类似严格下三角矩阵（即，存在一个Ñ × n非奇异矩阵P使得矩阵P ^-1A₁P，...，P ^-1A _k P严格地是下三角形）。

k = 1 的情况是幂等矩阵的众所周知的特征，引理2可以用相同的方式证明。

现在考虑Ñ -state XOR自动机，其中对应于符号转换矩阵一个 ∈Σ由下式给出P ^-1甲_一个 P，初始配置向量由下式给出P ^-1v ₀，并且所述特性（行）矢量接受状态由s P给出。通过构造，此XOR自动机接受相同的语言L。因为过渡矩阵严格地是较低的三角形，所以此XOR自动机中的每个过渡边都从具有较小索引的状态变为具有较大索引的状态，因此此XOR自动机是非循环的。尽管初始配置向量可能具有多个1s，但很容易将此XOR自动机转换为具有相同语言的单个初始状态的普通XOR自动机，而不会增加状态数或破坏非循环性。

— 伊藤刚
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使用商向量空间V / W如何转换为使用<n个状态的NXA？

— Abel Molina

\bar{A_{a}}

$\overline{A_a}$

\bar{s}

$\bar{s}$ 从V / W到GF（2）（因为W包含在R中）。由于W不平凡，因此d：= dim（V / W）<n。现在考虑包含v_0 mod W的V / W的基础，并编写线性映射

\bar{A_{a}}

$\overline{A_a}$ 和线性映射

\bar{s}

$\bar{s}$ 在此基础上分别作为矩阵和行向量。这些矩阵和行向量为具有d（<n）状态的相同语言定义XOR自动机。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

我想我可以证明循环对一元字母无济于事。

考虑矩阵 $M$ 过度 $F_2$ 描述我们可以一步一步从哪种状态进入哪种状态，以及向量 $v_n$ 过度 $F_2$ 描述自动机的可能状态 $\mod 2$ 后 $n$ 步骤，所以 $v_n=M^nv_0$ ，在哪里 $v_0=(1,0,..,0)$ describes the starting state. If we know that after some finite $t$ steps $s\cdot v=0$ (where $s$ is the characteristic vector of the accepting states), that means that we are in a certain subspace. The dimension of $M^n$ is strictly monotone descreasing for a while, then constant. This means that we must reach the subsapce $s\cdot v_n=0$ after at most as many steps, as many states the automaton has. But then there is a cycle-free automaton that just counts the length of the word.

— domotorp
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