最佳随机比较排序

所以，大家都知道比较树下界关于（确定性）比较排序算法进行的最坏情况下的比较。它不适用于随机比较排序（如果我们测量最坏情况输入的预期比较）。例如，对于，确定性下限是5个比较，但是随机算法（随机置换输入，然后应用合并排序）效果更好，具有 $\lceil\log_2 n!\rceil$ $n=4$ 所有输入的期望值进行比较。 $4\frac{2}{3}$

该根据信息理论，无上限的约束仍然适用于随机情况，并且可以将其稍微拧紧到 $\log_2 n!$ 这是因为存在一种最优算法，该算法会随机排列输入，然后应用（确定性）决策树，而最佳决策树（如果存在）是其中所有叶子都处于两个连续级别中的最优决策树。

k + \frac{2 (n! - 2^{k})}{n!}, where k = ⌊ \log_{2} n! ⌋ .

$k+\frac{2(n!-2^k)}{n!} \text{, where } k=\lfloor\log_2 n!\rfloor.$

如果知道此问题的上限怎么办？对于所有，比较的随机数（期望，对于最坏情况的输入，对于最佳可能的算法）始终严格比最佳确定性算法好（本质上，因为永远不是2的幂）。。但是好多少呢？ $n>2$ $n!$

ds.algorithms reference-request sorting

— 大卫·埃普斯坦
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l g (n!) + o (n)

$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$

由于您的问题是：“已知什么？” 这里有一些东西：

http://arxiv.org/abs/1307.3033

$\log n! +cn$ $c$

— 帕特·莫林
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n \log n - 1.415 n

$n\log n-1.415n$

n \log n - 1.399 n

$n\log n-1.399n$

我不是专家，对此我唯一了解的原因是John Iacono。不过我认为，这与波动有关，波动取决于n与2的幂的接近度（4/3倍）。如果您在此处查看第71页的分析，请访问link.springer.com/content/pdf /10.1007%2FBF01934989.pdf，-1.415n边界似乎仅在某些整数k的n = floor（（4/3）2 ^ k）时成立。也许Knuth中的-1.329n是所有n的最佳值？

— 帕特莫林

肯定会有波动，但是我认为（4/3）2 ^ k是最坏的情况，其他情况下更好。

— David Eppstein