向量的点积方差的单位向量的所有分布的最小值是多少？

$n$$x_1,\ldots, x_n$$k$$n > k$$\max_{i\neq j} \mathrm{Var}(x_i^T x_j)$$\mathbb{E}[x_i^Tx_j]=0$

我尝试了一些分布，几乎所有分布都具有1 / k的方差$1/k$。例如，分别从\ left \ {-1 / \ sqrt {k}，1 / \ sqrt {k} \ right \}中独立且统一地选择每个x_i的每个坐标的分布以及每个x_i的分布是在k维单位球面上具有1 / k方差的独立均匀向量。$x_i$$\left\{-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}\right\}$$x_i$$k$$1/k$

是$1/k$所有发行中的最小方差？

我将提出问题的一个等效但更简单的表述，并给出（n / k -1）/（n -1）的下限。 我还展示了与量子信息中一个未解决问题的联系。 [修订版3：在较早的修订版中，我声称很难准确描述达到以下所示下限的情况，因为复杂情况下的类似问题包括有关SIC-POVM的公开问题。量子信息。但是，此SIC-POVM连接不正确。有关详细信息，请参见下面的“量子信息中与SIC-POVM的错误连接”部分。

等效公式

首先，正如已经在daniello的答案中指出的那样，请注意Var（x _i ^T x _j）= E [（x _i ^T x _j）² ]-E [ x _i ^T x _j ] ² = E [（x _i ^T x _j）² ]。因此，在其余的答案中，我们忽略了方差，而是将max _{i ≠ j} E [（x _i ^T x _j）² ] 最小化。

接下来，一旦我们确定我们的目标是使max _{i ≠ j} E [（x _i ^T x _j）² ] 最小化，我们就可以忽略E [ x _i ^T x _j ] = 0 的约束。单位向量x ₁，…，x _n，那么我们可以以概率1/2独立地取反每个向量，以满足E [ x _i ^T x _j ] = 0而不改变目标函数max _{i ≠ j} E [（X _我 ^Ť X _Ĵ）² ]。

此外，将目标函数从max _{i ≠ j} E [（x _i ^T x _j）² ]更改为（1 /（n（n -1）））∑ _{i ≠ j} E [（x _i ^T x _j）² ]不会更改最佳值。后者最多是前者，因为平均值最多是最大值。但是，对于（i，j）的不同选择，我们总是可以使E [（x _i ^T x _j）² ] 的值（i ≠j）通过随机排列n个向量x ₁，...，x _n来相等。

因此，对于任何Ñ和ķ，所讨论的问题的最佳值是等于最小的（1 /（Ñ（Ñ -1）））Σ _{我 ≠ Ĵ} E [（X _我 ^Ť X _Ĵ）² ]，其中X ₁，...，X _ñ是其采取单位矢量在ℝ随机变量^ķ作为值。

然而，通过期望的线性，该目标函数等于期望值E [（1 /（n（n -1）））∑ _{i ≠ j}（x _i ^T x _j）² ]。由于最小值最多为平均值，因此不再需要考虑概率分布。也就是说，上述问题的最优值等于以下问题的最优值：

选择单位矢量X ₁，...，X _Ñ ∈ℝ ^ķ以最小化（1 /（Ñ（Ñ -1）））Σ _{我 ≠ Ĵ}（X _我 ^Ť X _Ĵ）²。

下界

使用这种等效公式，我们将证明最佳值至少为（n / k -1）/（n -1）。

对于1≤ 我 ≤ Ñ，让X _我 = X _我 X _我 ^Ť是对应于单位矢量的秩为1的投影机X _我。然后，保持（x _i ^T x _j）² = Tr（X _i X _j）。

令Y = ∑ _i X _i。然后，保持∑ _{i ≠ j} Tr（X _i X _j）= ∑ _i，j Tr（X _i X _j）-n = Tr（Y ²）-n。

柯西- Schwarz不等式意味着TR（Ý ²）≥（Tr的Ý）² / ķ = Ñ ² / ķ，因此Σ _{我 ≠ Ĵ} TR（X _我 X _Ĵ）= TR（Ý ²） - ñ ≥ Ñ ² / k - n。通过除以n（n -1），我们得出目标值至少为（n / k -1）/（n -1）。

特别是，当n = k +1时，达涅罗的答案在距最佳值2的范围内。

什么时候可以达到这个下限？

达到下限（n / k -1）/（n -1）等效于使Y =（n / k）I。我不知道何时可以实现准确的表征，但是存在以下充分条件：

• 当n = k +1时，可以通过考虑k +1个单位矢量来实现，这些单位矢量形成以原点为中心的规则k-单纯形，从daniello的答案中的2 /（k（k +1））提高到最佳1 / k ²。
• 当Ñ是的倍数ķ，它是通过固定ℝ的正交基清楚地可达到^ķ和每个基矢量的分配ñ / ķ的v ₁，...，v _Ñ。
• 比最后一个要点更普遍地说，如果可以通过选择k来实现，并且同时n = n ₁和n = n ₂，那么对于相同的k和n = n ₁ + n ₂也是可以实现的。特别是，它是可以实现的，如果Ñ = 一个ķ + b，其中一个和b是满足整数一个 ≥ b ≥0。

尽管我没有检查细节，但似乎任何球形2设计都可以提供达到此下限的解决方案。

量子信息中与SIC-POVM的错误连接

在较早的修订中，我说过：

我怀疑完全回答这个问题很困难。原因是，如果我们不是考虑复杂的向量空间ℂ ^ķ，这个问题是有关量子信息的公开问题。

但是这种关系是不正确的。我将解释原因。

更准确地说，请考虑以下问题：

选择单位矢量X ₁，...，X _Ñ ∈ℂ ^ķ以最小化（1 /（Ñ（Ñ -1）））Σ _{我 ≠ Ĵ} | x _i ^* x _j | ²。

在此复杂版本中，上面的下限同样适用。考虑复数形式中n = k ²的情况。然后，下限等于1 /（k +1）。

到目前为止，这是正确的。

一组ķ ²单位矢量X ₁，...，X _{ķ ²} ∈ℂ ^ķ达到下限被称为SIC-POVM在尺寸ķ，

这部分不正确。甲SIC-POVM是一组ķ ²单位矢量X ₁，...，X _Ñ ∈ℂ ^ķ为其| x _i ^* x _j | 对于所有i ≠ j，² = 1 /（k +1）。请注意，这里的要求必须适用于所有对i ≠ j，而不仅仅是所有对i ≠ j的平均值。在“等效公式”部分中，我们显示了最小化最大值与最小化平均值之间的等价关系，但这是可能的，因为x ₁，…，x _n是随机变量，在此处采用单位向量。这里X ₁，...，X _ñ只是单位向量，所以我们不能用同样的伎俩。

$v_1, v_2, \ldots, v_k$$\{1,2,\ldots,k+1\}$$x_i = x_j = v_1$$x_t$$t \notin \{i,j\}$$v_2, \ldots, v_k$$t \in \{1,\ldots,k+1\}$$x_i$$-x_i$$\frac{1}{2}$

$E[x_a \cdot x_b] = 0$$x_a$$x_b$$\frac{1}{2}$

$Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2]$$(x_a \cdot x_b)^2 = 1$$\{a,b\} = \{i,j\}$$\frac{1}{k+1 \choose 2}$$(x_a \cdot x_b)^2 = 0$$a$$b$

$x_i$