“大”证人的自然NP完全问题

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在cstheory这个问题：“ 什么是NP限于线性尺寸的证人？ ”问及NP类受限于线性尺寸证人，但 $O(n)$

是否存在自然的 NP完全问题，其中（是）大小为实例需要大小大于证人？ $n$ $n$

显然，我们可以构建一些人为的问题，例如：

$L = \{ 1^nw \mid w \text{ encodes a satisfiable formula and } |w|=n \}$
$L = \{ \varphi \mid \varphi \text{ is SAT formula with more than } |\varphi|^2 \text{ satisfying assignments}\}$

快速浏览G＆J之后，每个自然的NPC问题似乎都有（严格地）小于证人 $n$ 。

是否有“理由/解释”？

cc.complexity-theory np proof-complexity

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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1

许多问题都有见证者大小，例如图同构和哈密顿路径。您是否要排除多对数因素，还是算作答案？

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

— 2014年

12

实际上，图同构和哈密顿路径的见证者大小可以看作是输入中的线性（假设输入是图的 ×邻接矩阵）。

n \times n

$n \times n$

— Ryan Williams

1

哦，对... d'oh。

— 2014年

1

@MarzioDeBiasi我认为您对小证人的观察应该用来定义自然的 NP完全问题。

— Mohammad Al-Turkistany 2014年

1

@MarzioDeBiasi-我同意令人满意的作业清单就足够了，但是您能证明没有比这个问题更短的见证人了吗？（也许是表示所需工作的简洁方式）。

— RB

10

密集图中的边缘着色数（又称色度指数）如何？您将获得顶点图的邻接矩阵（位输入），但是描述着色的自然见证的大小为。当然，Vizing定理中的 1类图可能会有更短的证明。 $n$ $n^2$ $n^2\log n$

另请参阅此可能相关的问题

— 安德烈亚斯（AndreasBjörklund）
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2

似乎是一个很好的例子！仅需注意：即使对于三次图，问题也是NP完全的；在这种情况下，我们有一个大小为

的证人

如果我们使用邻接矩阵表示形式，bits就足够了（每个边两个位），小于

，我怀疑无论我们为三次方图使用哪种合理编码，它都小于实例大小。

2 | E |

$2|E|$

n^{2}

$n^2$

— Marzio De Biasi 2014年

8

我遇到了一些很自然的NP完全问题，这些问题似乎需要长期的见证。由整数和参数化的问题如下： $C$ $D$

输入：一个一磁带TM 问题：有一些，使得使得多于上长度的一些输入步骤？ $M$
$n\in\mathbb{N}$ $M$ $Cn+D$ $n$

有时，问题的补语更容易指出：给定的单带TM 是否在时间运行？对于所有，它是否对所有大小为输入最多执行步？ $M$ $Cn+D$ $Cn+D$ $n$ $n$

完整的结果显示在这里。基本上表明，如果要验证单带TM是否在时间内运行，我们只需要在以为界的长度的输入上进行验证，其中是状态数输入TM的值。因此，证人将是长度的输入，违反了时间限制。它也显示在参考文献中的这些问题是NP完全对所有和。 $Cn+D$ $q^{O(C)}$ $q$ $q^{O(C)}$ $C\geq 2$ $D\geq 1$

现在，如果证人是违反了运行时间的输入，它必须是长度的的总称。输入的长度为。 $q^{\Omega(C)}$ $O(q^2)$

— 大卫·G
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3

谢谢！但是，老实说，我发现更多“自然的”（我知道这不是一个正式的概念）问题：“给出一个公式

，确定它是否至少具有

令人满意的赋值” ：-)

φ

$\varphi$

| φ |^{2}

$|\varphi|^2$

— Marzio De Biasi

我明白：）。另一方面，关于

的问题具有问题中证人的长度，而关于TM的问题则具有证明中证人的长度。而且，证人的身长并没有故意纳入问题中。

φ

$\varphi$

— David G

7

这是一个例子，这似乎是一个自然的问题。

实例：正整数和，均从上方以界。 $d_1,\ldots,d_n$ $k$ $n$

问题：是否存在一个色图，其度数序列为？ $k$ $d_1,\ldots,d_n$

在这里，可以用位来描述输入，但是见证者可能需要位。 $O(n\log n)$ $\Omega(n^2)$

备注：我没有提到这个特定问题确实是NP完全问题。但是可以用任何其他NP完全条件代替色性的要求。如果不是这种情况，那么在某些情况下该问题可能会变成NP完全问题。 $k$

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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对我来说，除非P = NP，否则这个问题的结构类型是NP完全的。由每个度数序列定义的图的类别可能非常大，并且出于琐碎的原因，其中许多图元可能具有

色元素。

n

$n$

— 安德拉斯·萨拉蒙

@AndrásSalamon实际上，我不知道这个问题的复杂性是什么，或者不知道是否可以通过选择适当的条件而不是

着色性来使其完全NP 。另一方面，如果对于每个可多项时间检查的属性

，以下问题将出现在P中，我会感到惊讶：是否存在具有给定度数序列的图，因此它也具有属性

？

k

$k$

Q

$Q$

Q

$Q$

— Andras Farago 2015年

我同意，学位序列+属性似乎始终不可能在P中出现，但是其中某些可能是NP中间状态的候选人？

— 安德拉斯·萨拉蒙

@AndrásSalamon是的，我可以很好地想象其中一些具有NPI身份。

— Andras Farago 2015年

6

也许这是一个愚蠢的“原因/解释”，但是对于许多NP完全问题，解决方案是输入的子集（背包，顶点覆盖，集团，支配集，独立集，最大割，子集总和，... ）或输入的子集的排列或赋值（哈密顿路径，旅行推销员，SAT，图形同构，图形着色等）。

我们可以尝试对其进行更多的阅读，或者提出更荒谬的理由，但是我不确定是否还有更深层次的事情发生。

— 高利贷
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我认为这确实是一个很好的“第一个想法”。有时，不能将问题明确地分类。例如，SAT也可能是子集问题（“选择真实变量的子集”）。还是HAMCYCLE是顶点的置换问题，还是边缘的子集问题？（顺便说一句，也许“分配问题”可能确实是“分区问题”，比如说3色）。

— Juho 2014年

3

关于您的第一个问题，Allender指出（在通过自简化来放大下界中），没有已知的自然NP完全问题位于NTIME（n）之外。这意味着所有已知的自然NP完全集都具有线性大小的见证人。

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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1

请注意，不确定性图灵机中最长接受路径的长度与见证人的大小相对应。

— Mohammad Al-Turkistany

1

考虑以下MAXCLIQUE问题的变体。

$C$ $2n$ $n$ $2^n$ $n$ $2n$ $C$ $G(C)$ $n$ $C$

$G(C)$ $n^k$ $k$

笔记：

$NP$ $N=2n^k$ $G(C)$ $N$ $N$ $C$ $C$ $n$ $N$ $N/2$ $N$ $N$ $N$ $N=2n^k$
$n^k$ $O(n^{k+1})$ $n$ $n^k$ $k$ $C$ $n$ $k$ $C$
该问题可以看作是自然的，因为它是MAXCLIQUE的变体。
$NTIME(n)$

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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n

$n$

G^{'}

$G'$

N = 2 n^{k}

$N=2n^k$

C

$C$

(u, v)

$(u,v)$

u \leq N, v \leq N

$u\leq N, \; v\leq N$

(u, v) \in E (G^{'})

$(u,v)\in E(G')$

C

$C$

C

$C$

G (C)

$G(C)$

G^{'}

$G'$

N

$N$

2^{n} - N

$2^n-N$

G (C)

$G(C)$

n^{k}

$n^k$

G^{'}

$G'$ 有半透明的。

— 安德拉斯·法拉戈