具有解的拟多项式约束的

FewP是 $NP$ 问题的一类，在解决方案数上（输入大小），多项式有界。没有已知的 $NP$ 在-complete问题 $fewP$ 。我对我们可以扩大这一观察范围感兴趣。

在解决方案（见证人）数量上具有拟多项式上限的自然 $NP$ 问题吗？是否有一个被广泛接受的猜想可以排除这种可能性？

自然意味着该问题不是回答该问题（或类似问题）的人为制造的问题，并且人们独立地对该问题感兴趣（由Kaveh定义）。

编辑：悬赏将授予此类自然 $NP$ 问题或排除此类问题的存在的合理论证（使用广泛接受的复杂性理论猜想）。

动机：我的直觉是 $NP$ 完备性将超多项式（甚至指数级）的下限强加于证人人数。

cc.complexity-theory np

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
source

的承诺问题UniqueSAT是在

（不一样

），它的一个子集

（不一样

）。

P r o m i s e U P

$\mathsf{PromiseUP}$

U P

$\mathsf{UP}$

P r o m i s e F e w P

$\mathsf{PromiseFewP}$

F e w P

$\mathsf{FewP}$

— 约书亚·格罗夫

SAT的答案会回答您的问题吗？

— 卡夫2014年

这就是重点-不是。输入大小是输入中的位数，（稀疏）3卫星实例的大小为

。变量的数量只是输入的一个方面（参数），因此对于其他问题（例如图形问题），人们必须指定要衡量的目击者人数。例如，对于最大割，输入图可以具有

边，并且再次只有

见证人（输入大小次幂）。但是我们真的想用

来度量。但是，显然#vertices是正确的度量。

m \log n

$m \log n$

n^{2}

$n^2$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

— daniello

@Kaveh是的，所以您应该假设穆罕默德想到了在他的问题中有意义的那个。而且，如您所见，复杂性动物园也符合我的定义。通常，在任何有趣的复杂度类中，如果用多项式填充输入，则定义都不应更改。

— domotorp 2014年

@downvoters为什么人们到底在否决这个问题？我的意思是至少有人可以给出原因...

— domotorp 2014年

这是一个非常有趣的问题。

首先，澄清一下。请注意，“证人数量的上限”本身并不是计算问题的属性，而是用于决定问题的特定验证程序的属性，就像“ 证人数量的上限”不会是问题的性质，但由图灵机决定。因此说“ 解决方案数量上限的问题”不是很准确，如果则每个问题都有一个带有任意数量所需解（包括零，并包括所有可能的字符串）的验证器。。 $NP$ $NP$ $P = NP$ $NP$

因此，我们必须做出定义，以解决您的问题。对于，如果对于某个常数存在一个时间验证器，使得对于每个输入长度和，问题 “最多具有解” 。每个长度的，有不同 $s : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $NP$ $L$ $s(n)$ $c$ $O(n^c)$ $V$ $n$ $x \in L$ $n$ 的长度为，使得接受所有，而拒绝所有其他的长度。 $y_1,\ldots,y_{s(n)}$ $n^c$ $V(x,y_i)$ $i$ $V(x,y)$ $y$ $n^c$

我现在只能说的是：

我知道的每个问题（由某些自然验证者定义）都有一个明显的对应的完整计数版本（具有相同的验证者）。 $NP$ $\#P$
对于任何与验证者至多具有限定-complete问题解决方案（或甚至的解决方案）中相应的计数版本可能不是 -complete。 $NP$ $poly(n)$ $2^{n^{o(1)}}$ $\#P$

更多详细信息：假设是，且验证者最多具有解。然后是的自然计数“决策”版本，我们将其定义为 $L$ $NP$ $V$ $O(n^c)$ $L$

$Count_L(x) := \text{the number of $y$ such that $V(x,y)$ accepts}$

可在，也就是说，具有查询的多时函数。这是因为决定解决方案，以数量是否最多在：证人，如果存在的话，仅仅是数量的制作接受，我们知道是在最 $FP^{NP[O(\log n)]}$ $O(\log n)$ $NP$ $x$ $k$ $NP$ $y_i$ $V$ $O(n^c)$ 。然后，我们可以使用该问题进行二分搜索，以计算的精确。 $NP$ $L$

因此，这种-complete问题不能被扩展到以通常的方式-complete问题，除非。这看起来不太可能；整个多项式时间层次基本上会崩溃为。 $NP$ $\#P$ $\#P \subseteq FP^{NP[O(\log n)]}$ $P^{NP[O(\log n)]}$

如果您在上面假设，您仍然会得到不太可能的结果。你将表明可以在被计算的时间与一预言。这是超过足以证明，例如，该并随后 $s(n) = 2^{n^{o(1)}}$ $\#P$ $2^{n^{o(1)}}$ $NP$ $EXP^{NP} \neq PP$ $EXP^{NP} \not\subset P/poly$ 。并不是说这些分离是不可能的，但是似乎不可能通过给Permanent提供一个subexp time -oracle算法来证明。 $NP$

顺便说一句，我在这里没有说什么很有见地的。文献中几乎肯定有这样的论点。

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
source

确实，这是有见地的答案。

— Mohammad Al-Turkistany 2014年