可计算性和逻辑上的固定点

这个问题也已经发布在Math.SE上，

/math/1002540/fixed-points-in-computability-nd-logic

我希望也可以在此处发布它。如果不是这样，或者对于CS.SE来说太基础了，请告诉我，我将其删除。

我想更好地理解逻辑中的定点定理与 -calculus 之间的关系。 $\lambda$

背景

1）定点在真理的不完整和不确定性中的作用

据我了解，除了内部化逻辑的基本思想外，Tarski的真不可定性证明和Goedel的不完全性定理的证明的关键是以下逻辑不动点定理，它们生活在一个构造性的，有限的元论中（我希望公式化可以，如果有误或不正确，请纠正我）：

逻辑中不动点的存在

假设是语言具有足够表现力，可递归枚举的理论，并且令为中公式的编码，即将任意格式正确的公式转换为公式的算法一个自由变量，使得对任意 -式我们有 ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}$ ${\mathcal L}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathcal L}$ ${\mathbf C}(\varphi)(v)$ ${\mathcal L}$ $\varphi$ ${\mathscr T}\vdash \exists! v: {\mathbf C}(\varphi)(v)$ 。

然后存在一个算法 ${\mathbf Y}$ 转动合式 ${\mathcal L}$ -formulas在一个自由变量成封闭结构良好的 ${\mathcal L}$ -formulas，使得对于任何 ${\mathcal L}$ 在一个自由变量-式 $\phi$ 我们有
$T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow \exists v : C (Y (ϕ)) (v) \land ϕ (v),$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \exists v: {\mathbf C}({\mathbf Y}(\phi))(v)\wedge \phi(v),$ 其中，解释 ${\mathbf C}$ 为所定义的函数符号 $\lceil -\rceil$ ，也可能更紧凑写成 $T ⊢ Y (ϕ) \Leftrightarrow ϕ (⌈ Y (ϕ) ⌉) .$ ${\mathscr T}\vdash {\mathbf Y}(\phi)\Leftrightarrow \phi(\lceil{\mathbf Y}(\phi)\rceil).$
换句话说，是用于构造关于一元公式的等价性的不动点的算法。 ${\mathbf Y}$ ${\mathscr T}$ ${\mathcal L}$

这至少有两个应用程序：

将其应用于谓词表示“ 编码一个句子，当用其自己的编码实例化时，这是不可证明的。” 产生了“这句话是不可证明的”的形式，这是Goedel论证的核心。 $\phi(v)$ $v$
将其应用于为任意句子产生真理的塔斯基的不可定义。 $\neg\phi$ $\phi$

2）无类型微积分中的不动点 $\lambda$

在无类型的微积分中，不动点的构造对于递归函数的实现很重要。 $\lambda$

微积分中不动点的存在： $\lambda$

有一个固定的点组合子，即， -term 使得对于任何 -term ，我们有 $\lambda$ $Y$ $\lambda$ $f$
$f (Y f) \sim_{α β} Y f .$ $f(Y f)\sim_{\alpha\beta} Yf.$

观察

是什么让我目瞪口呆的是，不动点组合子在演算直接反映，在一个非常干净的和非技术的方式中，逻辑的固定点定理的证明通常： $\lambda f.(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$ $\lambda$

非常粗略，给定公式，人们考虑正规化的语句“ 码的句子，当其与本身实例化，满足 ”，并提出。这句话就像是，和对应于 $\varphi$ $\varphi(v)$ $v$ $\phi$ ${\mathbf A}(\phi) := \varphi(\lceil\varphi\rceil)$ $\varphi(v)$ $\lambda x. f(x x)$ $\varphi(\lceil\varphi\rceil)$ 。 $(\lambda x. f(x x))(\lambda x. f(x x))$

题

尽管有了快速描述的思想，但我发现逻辑不动点定理的证明是相当技术性的，很难在所有细节上进行。库恩在《定论》一书中的定理14.2中就是这样做的。另一方面，演算中的组合器非常简单，其性质易于验证。 $Y$ $\lambda$

逻辑不动点定理是否严格遵循微积分中的不动点组合？ $\lambda$

例如，能否用公式对演算进行建模，直至达到逻辑等价，以便对任何不动点组合器的解释都给出了逻辑不动点定理中所述的算法？ $\lambda$ ${\mathcal L}$

编辑

考虑到Martin和Cody的答案中描述的同一对角化论证的许多其他实例，应改述以下问题：

是否遵循组合器中表达的原理对角化参数有一个通用的概括？ $Y$
$λ f . (λ x . f (x x)) (λ x . f (x x))$ $\lambda f.(\lambda x. f(xx))(\lambda x.f(xx))$

如果我对它的理解正确，一个建议就是Lawvere的不动点定理，请参阅下文。但是不幸的是，我无法在马丁在他的回答中引用的任何一篇文章中都遵循相关的专业知识，如果有人可以解释它们，我会很高兴。首先，为了完整性：

劳维尔不动点定理

让是具有有限的产品和一个类别使得对于任何态射在有一些，使得对于所有的点 ${\mathscr C}$ $\varphi: A\times A\to Y$ $f: A\to Y$ ${\mathscr C}$ $\lceil f\rceil: 1\to A$ 之一具有 $p: 1\to A$
$1 \overset{p}{\to} A \overset{f}{\to} Y = 1 \overset{p}{\to} A \overset{⟨ ⌈ f ⌉, {id}_{A} ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\ f\ } Y\ \ =\ \ 1\xrightarrow{p} A\xrightarrow{\langle \lceil f\rceil,\text{id}_A\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$
那么对于任意自同态，推杆的任何选择引起的固定点，即 $g: Y\to Y$
$f := A \overset{Δ}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y \overset{g}{\to} Y,$ $f\ :=\ A\xrightarrow{\Delta} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y\xrightarrow{g} Y,$ $\lceil f\rceil$ $g$ $1 \overset{⟨ ⌈ f ⌉, ⌈ f ⌉ ⟩}{\to} A \times A \overset{φ}{\to} Y .$ $1\xrightarrow{\langle\lceil f\rceil,\lceil f\rceil\rangle} A\times A\xrightarrow{\varphi} Y.$

这是在（直觉）一阶理论中具有有限积的类别，因此适用于后者的任何模型。

例如，将整个理论集作为论述的领域，就得出了罗素的悖论（以为假设集， $A$ 和的 -predicate）和康托尔定理（取任意一组和对应于假想满射 $Y := \Omega := \{0,1\}$ $\rho: A\times A\to\Omega$ $\in$ $A$ $\rho: A\times A\to \Omega$ $A\to\Omega^A$ ）。此外，对Lawvere定理的证明的翻译给出了通常的对角论证。

更具体的问题：

有人可以详细解释Lawvere定理在部分递归函数或逻辑不动点定理上的应用吗？特别是，我们需要考虑哪些类别？

在D. Pavlovic的，在矛盾的结构，作者认为自由地生成的类别与的识别粒子递归函数。 ${\mathbb N}$ ${\text{End}}({\mathbb N})$

不幸的是，我不明白这意味着什么。

例如，的成分定律应该是什么？组成部分递归函数？毕竟，据说劳韦尔定理适用于 $\text{End}({\mathbb N})$ ，因此，特别是任何态射应该具有不动点。如果自同态确实只是部分递归功能，并且如果组合物的装置的功能的组合物，这似乎是奇-如果点是只是元素，则要求是错误的，并且如果一个态射 $A=Y={\mathbb N}$ ${\mathbb N}\to{\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ ${\mathbb N}$ $1\to {\mathbb N}$ 也是一个局部函数，因此可以不确定，定点定理是微不足道的。

一个人真正想考虑的类别是什么？

也许目标是获得罗杰的不动点定理，但随后应该以某种方式将自然数部分递归函数的编码构建到类别的定义中，而我不知道该怎么做。

如果有人可以解释Lawvere不动点定理适用的上下文的构造，从而产生逻辑不动点定理或部分递归函数的不动点定理，我将非常高兴。

谢谢！

lo.logic computability lambda-calculus

— 汉诺·贝克尔
source

好吧，哥德尔不动点定理的技术部分是证明递归函数可以在该理论中用数字表示，而且没有办法解决，因为您必须在某些点上使用将

区别于各种形式的东西。决定性的理论。如果愿意，可以将其视为算术中

微积分的实现。

Q

$Q$

λ

$\lambda$

— EmilJeřábek在2014年

@EmilJeřábek：谢谢您的评论！我知道没有办法绕过递归函数的编码，但是我想清楚地区分涉及编码的内容和随后的形式化内容。

— Hanno Becker 2014年

@EmilJeřábek：我想了解的是，是否可以使人印象深刻，即与编码有关的部分产生了某种类型的

微积分模型，通过该模型可以解释

组合器并产生各种固定点定理。

λ

$\lambda$

Y

$Y$

— Hanno Becker 2014年

考虑到部分递归函数的（递归）枚举

，即部分递归函数类别中的可计算相斥

，可以将Lawvere不动点定理相对简单地应用于部分递归函数。定点定理说：“每个递归泛函（

）都有一个定点”，它就是

组合器。

φ

$\varphi$

N \to (N \to N)

$\mathbb{N}\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

(N \to N) \to (N \to N)

$(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})\rightarrow(\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$

Y

$Y$

— 科迪2014年

科迪，您能否详细说明您使用的类别，因为那是我无法了解其他来源的原因。

— Hanno Becker 2014年

我可能没有直接回答您的问题，但是许多悖论都有一个通用的数学概括，包括哥德尔定理和Y组合器。我认为这是Lawvere首次探索的。另请参阅[2，3]。

— 马丁·伯格
source

{Lind}^{1} \times {Lind}^{1} \to {Lind}^{0}

$\text{Lind}^1\times\text{Lind}^1\to\text{Lind}^0$

@HannoBecker这可能非常困难并且对编码敏感。

— Martin Berger 2014年

对于您的问题，我没有完整的答案，但是我确实有以下几点：

据维基百科说

$Q(x, y)$ $p$
$φ_{p} ≃ λ y . Q (p, y)$ $\varphi_p\simeq \lambda y.Q(p, y)$ $\varphi$ $\mathbb{N}$

$\lambda$

$\phi$ ${\mathscr T}$ $n$
$T ⊢ ϕ (\bar{n}) \Leftrightarrow T ⊢ \exists y, φ_{n} (y) = 0$ ${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n}) \Leftrightarrow {\mathscr T}\vdash \exists y, \varphi_n(y)=0$

这不是您想要的，但是内部化技巧可以使您更强地声明

${\mathscr T}\vdash \phi(\overline{n})\leftrightarrow \exists y, \varphi_n(y) = 0$

再说一次，这不完全是逻辑定点定理，但可以达到相同的目的。

$Q(x,y)$
$Q (x, y) = 0 iff T ⊢ ϕ (\bar{x}) in at most y steps$ $Q(x,y) = 0 \mbox{ iff }{\mathscr T}\vdash \phi(\overline{x})\mbox{ in at most $y$ steps}$ $Q$ $\exists y, Q(x, y)$ ${\mathscr T}$ $\phi(\overline{x})$ ${\mathscr T}\vdash\exists y,Q(\overline{x}, y)$ $\omega$ $Q$ $\square$

稍加思考，您可能可以加强此论点，以直接为您提供完整的定理，而无需内部化。

— 科迪
source

φ : N ≅ C (N, N)

$\varphi:{\mathbb N}\cong\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$

C (N^{2}, N) \to Map (N, C (N, N)) ≅ Map (N, N)

$\text{C}({\mathbb N}^2,{\mathbb N})\to\text{Map}({\mathbb N},\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N}))\cong\text{Map}({\mathbb N},{\mathbb N})$

C (N, N)

$\text{C}({\mathbb N},{\mathbb N})$

N^{2} \to N

${\mathbb N}^2\to{\mathbb N}$

(n, m) \mapsto φ (n) (m)

$(n,m)\mapsto\varphi(n)(m)$

基于这些假设，我理解该陈述是正确的；然而，虽然-在许多类型的语句的-的相似性与

Y

$Y$ -组合器

λ

$\lambda$ -calculus引人注目，我不知道您如何将其作为后者的正式结果。您能详细说明一下吗？

— 汉诺·贝克

对于第一点：您是正确的，您想要

φ

$\varphi$ 在您所描述的意义上是“理智的”。第二点：

Y

$Y$ 组合器本质上表示

Y f ≃ f (Y f)

$Y\ f\simeq f(Y\ f)$ 。递归定理基本上是相同的：

p := Y Q

$p:= Y\ Q$ 。但是，部分递归函数的理论允许更多的通用性：函数的代码不同于函数本身。相当于

λ

$\lambda$ -calculus将具有Lisp 中的quoteand eval操作。从这个意义上说，递归定理比存在性更普遍。

Y

$Y$ 组合器。

— 科迪2014年