Kolmogorov复杂度是一种射影功能吗？

让我们确定图灵机和通用图灵机U的编码，该编码在输入（T，x）上输出输入T上的T输出（可能永远运行）。将x的Kolmogorov复杂度K（x）定义为最短程序的长度p，使得U（p）= x。

是否存在一个N，使得对于所有n> N都存在一个K（x）= n的x？

备注。如果我们以不同的方式定义通用图灵机，答案可能是否定的。例如，考虑一个U，如果（T，x）的长度可以被100整除，则输入（T，x）上的x上模拟T，否则不执行任何操作。可以用几种方式修改此示例，以获得通用图灵机不同定义的反例。

只是没有深度见解的扩展评论：也许您可以欺骗Turing机器的编码，并构建人工编码，从而导致令人怀疑的Kolmogorov复杂性：

• $0$ 代表输出的图灵机 $0$ （1状态TM）；
• $0p$ 代表输出的图灵机 $p+1$ （由二进制字符串表示的数字 $p$加一）; 它只是可确定的TM的隐式“压缩”版本，输出$p+1$;
• $1p$ 代表 $p+1$枚举的第4个图灵机（该枚举可以跳过已经包含在其中的TM $0$ 和 $0p$）。

输入对应的通用TM $bx$ 检查什么是价值 $b$， 如果是 $0$ 然后它只是输出 $x+1$，否则会模拟TM $M_{x+1}$ （$M_0$ 什么时候 $x$是空字符串）；注意$M_{x+1}$ 嵌入输入。

对于所有字符串 $x$， $1 \leq K(x) \leq |x|+1$; 并为所有人$n \geq 1$ 有 $2^{n}$ 长度的字符串 $n$ 但是只有 $2^{n-1}-1$ 节目长度 $< n$ 可以使用 $1p$编码 而且只有$2^{n}-1$ 节目长度 $n$ 可以使用 $1p$编码 所以至少一个字符串$x'$ 长度 $n$ 不能用程序表示 $1p$ 长度 $\leq n$; 但它肯定可以用程序表示$0x'$ 长度 $n+1$ （我们也不会担心是否还有一个程序 $1p$ 相同长度 $n+1$ 生成它）。

我们可以得出结论，对于所有人 $n > 1$，存在一个字符串 $x', |x'|=n$ 这样 $K(x') = n+1$ （因此，这个特定的K是射影）。