可在2-CNF或2-SAT中表达的属性

如何显示某项属性无法用2-CNF（2-SAT）表示？有卵石游戏等游戏吗？似乎经典的黑色卵石游戏和黑白卵石游戏不适合此操作（它们是PSPACE完整的，根据赫特尔和皮塔西，SIAM J of Computing，2010）。

还是游戏以外的其他技术？

编辑：我正在考虑涉及计数（或基数）未知谓词的属性（SO谓词，如有限模型理论家所言）。例如，在“派系”或“非加权匹配”中。（a）集团：给定图是否有集团使得给定数？（B）匹配：是否有一个匹配的在使得？ $C$ $G$ $|C| \ge$ $K$ $~$ $M$ $G$ $|M| \ge K$

2-SAT可以算吗？有计数机制吗？似乎令人怀疑。

sat lower-bounds combinatorial-game-theory

— 萨米尔·古普塔（Sameer Gupta）
source

我知道在有限模型理论中有Ehrenfeucht–Fraïssé博弈（用于FO）和Ajtai-Fagin博弈（用于一元SO）。但不确定在这里是否足够。同样，FMT中的游戏会因结构有序而变得复杂，对吗？

— Sameer Gupta 2014年

@Marzio似乎有些证据表明，并非所有的布尔函数都可以在2CNF中表示，因为您声明会回答这个问题（实际上并不确定，不要认为它很明显）。那是什么证明？在某处出版吗？

— vzn14 2014年

@vzn：一个简单的布尔函数，是不是在2-CNF表达为：

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

— 马兹奥德BIASI

@SameerGupta：重新配制后，问题变得很困难:-); 的确

，其中

仅限于条款与两个变量（SO-克罗姆）捕获NL超过有序结构，而存在的SO捕获NP。显然仅限于FO 2-SAT无法计数（并且Ehrenfeucht-Fraïssé游戏或紧凑性技术已经足够，因为您可以使用它们来证明PARITY不能由FO定义）。

\exists P_{1} . . . \exists P_{n} \forall \bar{z} φ (P_{1}, . . ., P_{n}, \bar{z})

$\exists P_1...\exists P_n \forall \bar{z} \varphi( P_1,...,P_n, \bar{z})$

φ

$\varphi$

— Marzio De Biasi 2014年

好。似乎存在一些通用理论，即

-SAT不能表示常数

所有布尔函数。那理论是什么？这个问题询问特殊情况

。注意，存在通过Tseitin变换将

-SAT 还原为3-SAT的概念。在单调电路下界证明（Razborov）中也看到了类似的概念。

k

$k$

k

$k$

k = 2

$k=2$

n

$n$

— vzn 2014年

Answers:

当且仅当它具有中位属性时，一类位向量才是2-SAT问题的解决方案的类别：如果将按位多数函数应用于任何三个解决方案，则将获得另一个解决方案。参见例如https://en.wikipedia.org/wiki/Median_graph#2-satisfiability及其参考。因此，如果您找到三个不正确的解决方案，那么您就知道它不能用2-CNF表示。

— 大卫·埃普斯坦
source

大卫，谢谢，请查收。@vzn-David的答案是否与您两天前在聊天站点上的评论有关，所有位向量集都存在3SAT公式，并且正在寻找有关位向量集的2SAT公式的结果？

— Sameer Gupta 2014年

David，Yuval-当然，只要使用一组相同的变量，您的证明就可以使用。但是，如果使用的变量集可以完全不同怎么办？在这里查看Martin Seymour的答案：cstheory.stackexchange.com/questions/200/…-要显示从K-Clique或K-Matching到2SAT 没有相等满意的减少量（最好是对数空间），则需要另外的证明。有什么想法吗？

— Sameer Gupta 2014年

添加辅助变量然后进行投影将无济于事，因为如果中位数属性对于增强型变量系统而言为true，则在投影中仍然为true。

— David Eppstein 2014年

换句话说，中值（或多数）是2SAT约束的多态性。事实上，它的已知的是，任何具有多数作为多态性CSP（即使是非布尔值）是在

（达尔莫-Krokhin '08）。

N L \subseteq P

$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$

— arnab 2014年

令为变量的一个属性。假设有一个2CNF式，使得 $P(x_1,\ldots,x_n)$ $n$ $\varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ 我们声称等效于仅包含的2CNF公式。为了证明这一点，足以说明如何消除。写

P (x_{1}, \dots, x_{n}) \Leftrightarrow \exists y_{1} \dots \exists y_{m} φ (x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{m}) .

$P(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \exists y_1 \cdots \exists y_m \varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m).$

φ

$\varphi$

ψ

$\psi$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{m}

$y_m$

其中

是文本和

不涉及

。式

相当于

φ = χ \land ⋀_{k = 1}^{s} (y_{m} \lor U_{k}) \land ⋀_{ℓ = 1}^{t} (\bar{y_{m}} \lor V_{ℓ}),

$\varphi = \chi \land \bigwedge_{k=1}^s (y_m \lor U_k) \land \bigwedge_{\ell=1}^t (\overline{y_m} \lor V_\ell),$

U_{k}, V_{ℓ}

$U_k,V_\ell$

χ

$\chi$

y_{m}

$y_m$

φ

$\varphi$

这证明根据权利要求时

不以单位条款出现; 如果是这样，我们可以直接消除它。

χ \land (\bar{y_{m}} \Rightarrow ⋀_{k = 1}^{s} U_{k}) \land (y_{m} \Rightarrow ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land (⋀_{k = 1}^{s} U_{k} \lor ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land ⋀_{k = 1}^{s} ⋀_{ℓ = 1}^{t} (U_{k} \lor V_{ℓ})

$\chi \land (\overline{y_m} \Rightarrow \bigwedge_{k=1}^s U_k) \land (y_m \Rightarrow \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land (\bigwedge_{k=1}^s U_k \lor \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land \bigwedge_{k=1}^s \bigwedge_{\ell=1}^t (U_k \lor V_\ell)$

y_{m}

$y_m$

$P(x_1,\ldots,x_n)$ $\psi(x_1,\ldots,x_n)$ $P$ $P$ $K$ $K$ $n$

— Yuval Filmus
source

y_{i}

$y_i$

ψ

$\psi$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

\dots

$\cdots$

x_{n}

$x_n$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{2}

$\phi_2$

y_{i}

$y_i$

y_{i}

$y_i$

$L$ $-$ $L$

（是的，我知道加，乘和计数计算函数，但是将它们转换为各自问题的决策版本很容易。）

$L \subseteq NL$ $NL$ $AC^0$ $AC^0$

（c）因此，为了计数，即使您可能无法在2-CNF中获得等效表达式，也可以使用（b）中概述的方法获得相等的 2-CNF表达式。

是的，2-SAT 可以计数。

$NL$ $|M|$ $NL$

— 马丁·西摩
source

关于（c），如果您相信我的回答，那么可以将一个令人满意的2-CNF表达式转换为一个真正的等效2-CNF表达式。

— Yuval Filmus 2014年

-

$-$

$~$

您可以阅读我的答案，然后自己看看。请注意，在这种情况下，没有时间/空间限制。

— Yuval Filmus 2014年

L

$L$

{A C}^{0}

$\mathrm{AC}^0$

f

$f$

x \in L

$x\in L$

f (x)

$f(x)$

ϕ

$\phi$

x_{i}

$x_i$

ϕ

$\phi$

-

$-$

x_{i}

$x_i$

$~$