雪崩般的随机过程

请考虑以下过程：

有$n$箱从上向下依次设置。最初，每个垃圾箱包含一个球。在每一步中，我们

1. 随机均匀地挑选一个球 ，$b$
2. 将所有球从包含$b$的垃圾箱移到其下方的垃圾箱。如果已经是最低的料仓，我们就将球从工艺中移出。

直到过程终止（即，直到从过程中删除了所有$n$球）为止，期望执行多少步骤？以前有研究过吗？答案是否容易从已知技术中得出？

最好的情况是，该过程可以在$n$步骤之后完成。在最坏的情况下，它可能需要$\Theta(n^2)$步。但这两种情况都不太可能发生。我的推测是它需要步骤，我做了一些实验，似乎可以证实这一点。$\Theta(n\log n)$

（请注意，随机均匀地选择一个bin是一个非常不同的过程，显然将需要步骤来完成。）$\Theta(n^2)$

并不是真正的答案，而是对安德拉斯答案的扩展评论。

András的回答包含一个很好的直觉，尽管我不认为这是对预期步骤数的严格计算。我认为这可能是对答案的一个很好的近似值，但是它似乎无法正确处理以下情况：位于最高占用位置的垃圾箱下方的垃圾箱在将上部垃圾箱向下清空之前变空。不过，这可能是一个合理的近似值（我不确定）。

他的计算包含一个影响缩放的误差。我将采用完全相同的起点，然后重做并扩展计算。

它错过了求和内的p因子，因为随机选择正确bin的概率为而不是$\frac{p}{n}$。结果，我们有$\frac{1}{n}$

$\begin{eqnarray*} n + \sum_{p=1}^n \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \frac{p}{n} \left(\frac{n-p}{n}\right)^k & = & n + \sum_{p=1}^{n} \frac{p}{n} \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) \left(\frac{n-p}{n}\right)^k \\\\& = & n + \sum_{p=1}^{n} \frac{p}{n} \cdot \frac{n^2}{p^2} \\\\& = & n + n\sum_{p=1}^{n} 1/p \\\\& = & n (1+H_n) \end{eqnarray*}$

其中是第n个谐波数。为了接近^ h ñ我们可以简单地用积分替换求和：^ h ñ ≈ ∫ ñ + 1 1$H_n = \sum_{p=1}^{n} 1/p$$H_n$。因此，缩放比例为n（1+log（n+1））或大约nlog（n+1）。尽管此缩放比例与问题的缩放比例不完全匹配（请参见下面的模拟），但几乎完全是log（2）的因数。$H_n \approx \int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} dx = \log(n+1)$$n (1+\log(n+1))$$n \log(n+1)$$\log(2)$

红色圆圈：过程仿真的数据点平均超过10k次运行。绿色：。蓝色：n log （n + 1 ）。$n \log_2(n+1)$$n \log(n+1)$

编辑：我暂时不回答这个问题，以说明证明定理的混乱过程，这是已发表论文中所没有的。此处的核心直觉是，将重点放在顶部球上就足够了，因为它会扫走下面的所有球。请查看评论（特别是@Michael指出可能会出现差距），以及@Joe的稍后答案，以了解如何识别和纠正错误。我特别喜欢Joe使用实验仔细检查公式是否合理。

下界正如你所指出的，但有些令人吃惊似乎有一个上限的（1 + π 2 / 6 ）ñ为步骤的预期数目。$n$$(1 + \pi^2/6)n$

为了得到这个，注意球的序列将精确地清除所有的垃圾箱，如果它包含一个子使得b 1 = ñ，b 2 ≥ ñ - 1，...，b 我 ≥ ñ - 我+ $b_1b_2\cdots b_n$$b_1 = n$$b_2 \ge n-1$$\dots$$b_i \ge n-i+1$。为了避免选择不再在系统中的球，但为达到上限的目的，在序列上还需要附加条件，假设存在无限数量递减的箱位（因此，离开箱位时，球不会消失） 1，但先移至bin 0，然后移至bin -1，依此类推）。然后，要看到的此子序列的预期步数是看到之前的预期步数，加上看到b 2之前的预期步数，依此类推（减少到1，因为b n可以任何数量的1 ，2 ，... ，$b_1$$b_2$$b_n$$1,2,\ldots,n$）。这些可以看作是一个单独的事件，一个接一个。然后是预期的步骤数

$\begin{eqnarray*}n + \sum_{p=1}^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{n} \left(\frac{n-p}{n}\right)^k & = & n + \sum_{p=1}^{n-1} \frac{1}{n-p} \sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{n-p}{n}\right)^k \\& = & n + \sum_{p=1}^{n-1} \frac{1}{n-p} n(n-p)/p^2 \\& = & n + n\sum_{p=1}^{n-1} 1/p^2 \\& \le & (1 + \pi^2/6)n. \end{eqnarray*}$