n-皇后完成的复杂性？

在给定正整数，经典皇后问题询问是否存在满足以下条件的整数数组：n Q [ 1 .. n $n$$n$$Q[1..n]$

• $1\le Q[i] \le n$代表所有$i$
• $Q[i] \ne Q[j]$对所有$i\ne j$
• $Q[i]-i \ne Q[j]-j$对于所有$i\ne j$
• $Q[i]+i \ne Q[j]+j$对于所有$i\ne j$

每个整数表示女王/王后在棋盘的第行上的位置；约束编码要求没有女王可以攻击其他女王。容易证明当或时没有解，并且对于n的所有其他值，已知闭式解。因此，作为决策问题，n皇后问题完全无关紧要。i n × n n = 2 n = 3 $Q[i]$$i$$n\times n$$n=2$$n=3$$n$$n$

对于标准回溯算法构建一个$n$ -queens解决方案推测皇后放置在行的前缀，然后递归地确定是否有在剩余行皇后的法律位置。递归子问题可以形式化如下：

• 给定一个整数$n$和一个整数数组$P[1..k]$，P是否是描述n皇后问题解决方案$P$的数组Q [1..n]的前缀？$Q[1..n]$$n$

这是更一般的决策问题吗？

几个附近的问题被认为是NP难的，包括拉丁方完成度[ Colbourn 1984 ]，数独完成度[ Yato和Seta 2002 ]以及$n$ -queens 的另一泛化[ Martin 2007 ]，但是这个特定的问题似乎已经逃脱了任何认真的注意。

相关的cstheory.se问题：

• N Queens问题是否难解决？
• 半填充幻方问题NP是否完全？

花费了多年的时间，但这篇文章启发了我们写一篇今天发表的论文。

答案是n个皇后区完成是NP完成。但是，为了全面披露，我们需要解决该问题的一些细微变化。在我们的情况下，皇后集不必是完整集的前缀。因此，从技术上讲，我们尚未解决此处提出的确切问题。但是，如果来自此查询的n Queens Completion的版本也不是NP-Complete，那将非常令人惊讶。

我想重复我们在论文中对杰夫斯的感谢，因为他在这里提出了这个问题。

n皇后区完成度研究的复杂性根特研究中心，杰斐逊，夜莺doi：10.1613 / jair.5512 http://www.jair.org/papers/paper5512.html

（这指向一些相关结果。我最初认为相关结果非常相关，但是我无法迅速填补空白，因此也许它们毕竟并没有那么相关。也许仍然有帮助。）

《计算机编程艺术》第7.2.2.2节（草稿）中的练习118研究了一个非常相似的问题。在解决方案中，Knuth引用了一篇文章，而该文章又引用了

• Gardnera，Gritzmannb，Prangenbergc，根据其X射线重建晶格集的计算复杂度，1999年

练习118证明二进制数字断层扫描是NP完全的。此问题的输入由线和对角线总和组成，所有和均来自。$[2]=\{0,1\}$

输入：和$r,c\in[2]^m$$a,b\in[2]^{2m-1}$

输出：是否存在，使得 和和和 $x\in[2]^{m\times m}$$\sum_j x_{ij}=r_i$$\sum_i x_{ij}=c_j$$\sum_i x_{i,s-i}=a_s$$\sum_i x_{i,d+i}=b_{d+m-1}$

我不清楚如何解决这个问题。一种可能有用的观察结果是，问题的输出也仅取决于总和，而不取决于皇后的确切位置。（请参阅[Rivin，n皇后问题的动态编程解决方案， 1992年]中的定理2.4 ，尽管也许这很容易看到。）

Knuth通过减少二进制偶发问题来证明二进制数字断层扫描是NP完全的。这是一个非常相似的问题，除了3维且没有对角线。

输入：${xi},{xj},{xk}\in[2]^{n\times n}$

输出：是否存在使得 和和 Σ 我X 我Ĵ ķ = X 我Ĵ ķ Σ Ĵ X 我Ĵ ķ = X Ĵ 我ķ Σ ķ X 我Ĵ ķ = X ķ 我$x\in[2]^{n\times n\times n}$$\sum_i x_{ijk}={xi}_{jk}$$\sum_j x_{ijk}={xj}_{ik}$$\sum_k x_{ijk}={xk}_{ij}$

Gardnera等人的文章。似乎可以减少更多标准的NP完全问题。我对任何一种还原都不太理解，因此在这里不作解释，所以如果您愿意，我只会把指针从上面留给您探索。

除非有人弄清楚如何将“二进制数字断层摄影”简化为所要提出的问题，否则这可能都是无用的。