评估运算电路的多线性化？

令 $p(x_1,\ldots,x_n)$ 是一个多元多项式，系数在场 $F$ 。的multilinearization $p$ ，记为，是反复替换每个结果与由。结果显然是一个多元线性多项式。 $\hat{p}$ $x_i^d$ $d > 1$ $x_i$

考虑以下问题：给定的运算电路 $C(x_1,\ldots,x_n)$ 超过 $F$ 和给定字段元件 $a_1,\ldots,a_n$ ，计算。 $\hat{C}(a_1,\ldots,a_n)$

问题：假设场算术可以在单位时间内完成，是否有多项式时间算法？稍后添加：我也对 $C$ 实际上是一个公式（扇出的电路 $1$ ）的特殊情况感兴趣。

cc.complexity-theory polynomials

— 斯利姆顿
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为什么它等同于计算闭路输出？我现在面临的问题是，该电路可以具有从输入分离路径

x_{i}

$x_i$ 到几个内部乘法节点，并且评价这些内部乘法节点中的每一个将需要更换

x_{i}

$x_i$ 通过

a_{i}

$a_i$ 在一个路径，并通过

1

$1$ 中的其他。在具有指数级路径的电路中，看起来需要处理的指数级案例数量很多。

— slimton 2010年

@Kaveh：我不明白。看一下电路

。如果你只是更换输入节点

与值由节点

，并以标准方式评估你最终返回

，而不是

。计算模型：图灵机上的正常多项式时间。如果需要，可以将字段视为

来表示具体性。

(x * x)

$(x * x)$

x

$x$

a

$a$

a^{2}

$a^2$

a

$a$

Z / 3 Z

$Z/3Z$

— slimton 2010年

@Kaveh：我不明白这种算法如何暗示您的意思，但这确实与算术电路复杂度的一个普遍假设相矛盾：永久性没有多尺寸的算术电路（除F_2以外的其他域）。考虑多项式

。多线性部分

该多项式的具有其最高程度（属性

）部分只是

p = \prod_{i} (\sum_{j} x_{i j} y_{j})

$p=\prod_i(\sum_j x_{ij} y_j)$

q

$q$

= 2 n

$=2n$

。如果有一个小的算术电路计算

，那么就可以表明有一个小的算术电路计算

。

r = y_{1} y_{2} \dots y_{n} P e r (x_{11}, \dots, x_{n n})

$r = y_1y_2\cdots y_n Per(x_{11},\ldots,x_{nn})$

q

$q$

r

$r$

— Srikanth

@Srikanth：在发布我的答案之前，我没有看到您的评论（结果与您在评论中给出的结构相同）。此后，我已经删除了我的答案，因此您应该发表评论作为答案。

— 约书亚·格罗肖

@Joshua：我不添加我的评论作为答案，因为我不明白为什么Kaveh的建筑可以工作。我看到算术电路计算出的所有输入均符合多元线性化的多项式，但我不确定它能正式计算出给定多项式的多元线性化（请参阅我在Kaveh回答后的评论）。我的构造（和您的构造）假设多重线性化是正式计算的。

— Srikanth

Answers:

在字段的大小至少为，我认为这个问题很难解决。更具体地说，我认为如果对于这么大可以有效地解决上述问题，那么CNF-SAT具有高效的随机算法。假设我们都给出了CNF公式。人们可以很容易想出的运算电路，计算一个``算术化“” 的，其中该多项式与式同意上 - 输入。考虑multilinearization 的。注意 $F$ $2n$ $F$ $\varphi$ $C$ $p$ $\varphi$ $p$ $\varphi$ $0$ $1$ $q$ $p$ $q$ 与同意，因而上。 $p$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

我声称是非零的，如果是可以满足的。显然，如果，则不能满足。为相反的，可以显示出任何非零多重线性多项式不能在所有的消失。这意味着一个非零（以及因此相应的）不会在一些输入消失。 $q$ $\varphi$ $q=0$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$ $q$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

因此，检查可满足性等同于检查是否为非零。现在说，我们可以在一个大字段评估。然后，使用Schwartz-Zippel Lemma，我们可以使用高效的随机算法对进行身份测试，并检查它是否为零多项式（的大小用于限制Schwartz-Zippel Lemma中的误差）。 $\varphi$ $q$ $q$ $F$ $q$ $F$

— 斯里坎特
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在我看来，F是固定字段，因为在输入中没有指定F的内容。还请注意，该问题假定字段运算花费单位时间。

— 卡夫

谢谢Srikanth。正如Kaveh猜想的那样，我的确对固定有限域的情况感兴趣，但是您给出的这个答案使我对问题的理解更好了。

— slimton 2010年

假定有polytime算法给出和计算的多线性化的结果上。（wlog我将假设输出将向量位二进制数是当且仅当是一个）。 $C(\vec{x}) \in F(\vec{x})$ $\vec{a}$ $C$ $\vec{a}$ $\vec{b}$ $p$ $b_i$ $k$ $b_{i,k}$

由于，有一个polysize布尔电路，鉴于运算电路和用于变量的值的编码计算所输入的运算电路的多线性化。让我们把这个电路。 $P \subseteq P/poly$ $M$

令为任意算术电路。固定描述运算电路的布尔电路的变量，因此我们有一个布尔电路计算给定输入上的多线性化。 $C$ $M$ $C$

$F_p$ $x^{p-1}$ $1$ $0$ $p-1$ $f \land g$ $f.g$ $f \lor g$ $f+g-f.g$ $\lnot f$ $1-f$

$F_p$ $b_i$ $\sum_{0 \leq k \leq p-1}{kb_{i,k}}$

$F_p$ $\bmod 3$ $2x(x+1)$ $2x(x+2)$ $x \in F_3$

组合这些我们有超过运算电路计算的多线性化与尺寸大小polynomail。 $F_p$ $C$ $C$

— 卡韦
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我不清楚您所描述的算术电路为什么会计算的多元线性化，或者甚至是多元线性多项式。我只能够看到，运算电路计算某些多项式具有的multilinearization同意在 -输入。

C

$C$

C

$C$

0

$0$

1

$1$

— Srikanth

@Srikanth：布尔电路的算术版本（固定了一些输入）计算的多线性版本，它不必是多线性的。然后唯一的问题是输入/输出是二进制值，不是值，因此我只需要将输入/输出的编码从二进制值固定为原始输入和输出值即可。生成的电路是一个算术电路，它获取变量的值，以二进制形式对它们进行编码，计算这些输入上的多线性化的值，并以二进制形式输出答案，然后将其转换回。

M

$M$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

C

$C$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

— 卡夫

[续]结果是一个运算电路，具有与相同的变量，并且具有相同的输出，并且正在计算的多线性化。

C

$C$

C

$C$

— 卡夫

@Kaveh：你假定输入布尔电路是相同的形式输出的？无论如何，我仍然不相信。算术电路完全有可能计算出一个多项式，该多项式在该场的所有输入处都与多项式，而。例如，多项式在所有输入处均与一致，但它们并不等于多项式。您怎么知道电路并不是在简单地计算一个与所有输入的的多线性化相符的非线性多项式？

M

$M$

M

$M$

f

$f$

g

$g$

f \neq g

$f\neq g$

x^{p}

$x^p$

x

$x$

M

$M$

C

$C$

— 斯里坎特

@Srikanth：我已经在答案中描述了输入和输出的形式。的输入为二进制，的输出为上述形式。我没有说它是多线性的，我只是说它计算的多线性化。

M

$M$

M

$M$ $C$

— 卡夫