BosonSampling论文如何避免对复杂矩阵进行简单分类？

Scott Aaronson和Alex Arkhipov 在“线性光学的计算复杂性”（ECCC TR10-170）中指出，如果经典计算机可以有效地模拟量子计算机，则多项式层次将崩溃至第三级。激励问题是从由线性光学网络定义的分布中采样。这种分布可以表示为特定矩阵的永久性。在经典情况下，矩阵的所有项都是非负的，因此存在概率多项式时间算法，如Mark Jerrum，Alistair Sinclair和Eric Vigoda（JACM 2004，doi：10.1145 / 1008731.1008738）。在量子情况下，条目是复数。请注意，在一般情况下（当条目不要求是非负数时），Valiant的经典1979年结果即使在一个恒定因子内也无法近似永久值。

本文定义了由矩阵A定义的分布和一个采样问题$D_A$$A$

BosonSampling
输入：矩阵样本：来自分布D $A$
$D_A$

使用硬度结果似乎不足以证明经典世界和量子世界之间存在分离，因为特定量子设置中的矩阵类别有可能全部采用特殊形式。它们可能具有复杂的条目，但仍可能具有很多结构。因此，即使一般问题是＃P-hard，也可能存在针对此类矩阵的有效采样过程。

如何在论文中使用BosonSampling避免简单分类？

本文使用了许多我在量子复杂性方面没有的背景知识。考虑到该站点上的所有量子人物，我非常感谢朝着正确方向发展的指针。如果要发现在特定实验设置中看到的复值矩阵类别实际上对应于易于采样的一类分布，这些论点将如何成立？还是量子系统中固有的某种东西可以保证不会发生这种情况？

感谢您的提问！有两个答案，具体取决于您是否对精确或近似 BosonSampling 的硬度结果感兴趣。

在确切的情况下，我们证明给定任何 n×n的复矩阵A，您可以构建一个光学实验，以| Per（A）|成比例的概率产生特定的输出。²。反过来，这意味着除非P ^#P = BPP ^NP，否则没有任何经典的多项式时间算法可以从与光学实验完全相同的分布中采样（给出了对实验的描述）。实际上，我们可以加强这一点，以便给出可以使用poly（n）大小的光学实验采样的单一分布D _n（仅取决于输入长度n），但是不能经典地在poly（n ）时间，除非P ^#P = BPP ^NP。

在近似情况下，情况更加复杂。我们的主要结果表明，如果有一个经典的多项式时间算法甚至可以近似模拟光学实验（从对输出的概率分布进行采样的角度来看，变化距离为1 / poly（n）-闭合），则在BPP中^NP，您可以近似| Per（A）| ²，在iid高斯的n×n矩阵A的均值0和方差1上具有很高的概率。

我们推测，上述问题是＃P-硬（最起码，不是在BPP ^NP），以及57-82页我们的论文都是关于这个猜想的证据。

当然，也许我们的猜想是错误的，并且实际上可以给出一种多时间算法来近似iid高斯矩阵的永久物。那将是一个惊人的结果！但是，我们所做工作的85％的全部重点是将一切都建立在尽可能干净，简单和“无量子”的硬度推测基础上。换句话说，不是假设

“大约在我们的实验中出现的一些奇怪的特殊矩阵的永久物是＃P-hard，”

我们表明足以进行假设

“近似艾德·高斯矩阵的永久物是＃P-hard。”