线性扩展图的度集

甲线性延伸 $L$一个偏序的是上的元素的线性顺序，使得在意味着在对于所有。$\mathcal{P}$$\mathcal{P}$$x \leq y$$\mathcal{P}$$x \leq y$$L$$x,y\in\mathcal{P}$

甲线性延伸图形是所设定的一个偏序集，线性延伸的图，其中两个线性延伸部是相邻的准确，如果他们二FF ER中的元素中的一个相邻的交换。

在下面的图片中，有一个称为 -poset的波幅及其线性扩展图，其中。$N$$a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

（此图摘自作品。）

研究线性扩展图（LEG）时，您可以想到一个想法（猜想），即 -LEG的最大程度，分别是最小程度，则任何LEG的程度集都由组成和它们之间的每个自然数。例如，假设有一个人字形，称为V形，然后在其LEG，其和，并且根据根据我们的推测，图中包含度数为4和3的顶点。那么，问题是我们可以证明还是反驳这个猜想？$\Delta$$\delta$$\Delta,\delta$$\mathcal{G}$$\Delta(\mathcal{G})=5$$\delta(\mathcal{G})=2$

关于LEG及其外观，可以在此处的Mareike Massow论文中阅读。在本文的第23页上可以看到雪佛龙及其LEG。

在度数集上，有Kapoor SF等人的经典论文“ 图形的度数集”。

我想我昨天证明了。因此，这里是证明的草图。首先，证明以下引理。

引理。令一个偏序，G （P） -它的线性扩展图和v 1，v 2 - G （P）的两个相邻顶点。然后| d È 克（v 1）- d È 克（v 2）| ≤ 2。$\mathcal{P}$$G(\mathcal{P})$$v_1,v_2$$G(\mathcal{P})$$|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

证明的草图。

同时，是P的线性扩展，因此其中一个，例如v 1，可以通过相邻元素的一个换位（相邻换位）转换为v 2。容易看出（例如，从上图中考虑d和e），任何线性扩展L = x 1 x 2 … x n的元素x i最多可以改变两个元素上无与伦比的相邻元素的数量：$v_1,v_2$$\mathcal{P}$$v_1$$v_2$$d$$e$$x_i$$L=x_1x_2\dots x_n$

1. 如果可以在所有被调换则至少有一个它的邻居，说X 我+ 1，是无与伦比的它（X 我 ∥ X 我+ 1，如果可比然后X 我 ⊥ X 我+ 1）。注意：转置之前，我们有L 1 = … x i − 1 x i x i + 1 x i + 2 …以及紧接着-L 2 = $x_i$$x_{i+1}$$x_i\parallel x_{i+1}$$x_i\perp x_{i+1}$$L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$。$L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
2. 让我们考虑如何incomparabilities的数量（线性扩展为顶点的程度中）大号可能会改变。我们首先考虑对x i x i + 2。对于X 我- 1 X 我+ 1相同的结论如下通过对称性。$G(\mathcal{P})$$L$$x_ix_{i+2}$$x_{i-1}x_{i+1}$

如果，那么d È 克（大号）不改变。如果X 我+ 1 ⊥ （∥ ）X 我+ 2 ∧ X 我 ∥ （⊥ ）X 我+ 2，那么d È $x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$$deg(L)$$x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$增加（减少）一倍。$deg(L)$

Theorem. Let $G(\mathcal{P})$ - a linear extension graph. If $G(\mathcal{P})$ contains vertices $v_1,v_2$ with $deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$, then there is $v_3\in G(\mathcal{P})$ such that $deg(v_3)=k+1$.

The sketch of the proof.

Suppose $v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ are adjacent in $G(\mathcal{P})$, otherwise any vertex with degree $k$ in $G(\mathcal{P})$ is adjacent with some vertex if such exists with degree $k+1$.

Let us consider the case where we have $L_1,L_2$ from the previous lemma such that

$$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$$ and $$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$$

Thus $deg(L_2)=deg(L_1)+2$.

Let us now start transpose $x_{i+1}$ in the direction of $x_1$. It is easy to see that eventually we could stop at the position where

$$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$$ for some $j<i-1$. The sketch of the proof is completed.