变量对数的整数线性规划

我读整数线性编程是在多项式时间内可解如果数的变量是固定的，即。如果变量的数目的对数增长，即为的大小给定的输入，是问题仍然在多项式时间内可解或这是一个开放的问题？ $n$ $n \in O(1)$ $n \in O(\log_2(N))$ $N$

cc.complexity-theory np open-problem

— 用户名
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您不能添加琐碎的真实约束来增加输入的大小吗？

— joro

为什么要增加输入的大小？

— user3613886

要使输入如此之大，以至于变量的数量是对数的并且适合您的问题。

— 2015年

但在问题中，我们已经假设变量与输入大小相比是对数的

— user3613886

我考虑过将所有实例都设为您的实例，但这可能成倍增加输入量。

— joro 2015年

我只能部分回答这个问题。

Lenstra的结果（后来由Kannan和Frank和Tardos进行了改进）表明，具有变量的ILP 可以在时间（是ILP大小的多项式求解。因此，当变量数为时，ILP在P中。我不确定是否知道算法，或者这种算法是否与ETH相矛盾。 $k$ $k^{O(k)}$ $O(\log n/\log\log n)$ $2^{O(k)}$

我在Daniel Lokshtanov的论文中找到了这些信息。以下是相关参考。

HW Lenstra。具有固定数量的变量的整数编程。运筹学数学，1983：8：538-548。
坎南（R. Kannan）。Minkowski的凸体定理和整数编程。运筹学数学，1987：12：415-440。
安德拉斯·弗兰克（Andras Frank）和伊娃·塔多斯（Eva Tardos）。同时双色子素近似在组合优化中的应用。Combinatorica，7：49-65，1987。

— 迈克尔·兰皮斯
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我认为您将需要O（k ^ p）算法来固定p，因为即使具有2 ^ O（k）的算法也将是指数级的？

— user3613886

抱歉，我使用了与问题不同的符号。通过

我的意思是变量的个数，并且

是输入的大小，所以

算法将是多项式时间如果

。

k

$k$

n

$n$

2^{k}

$2^{k}$

k = O (\log n)

$k=O(\log n)$

— 迈克尔·兰皮斯

但是，假设您只有二进制变量，那不是

蛮力吗？

2^{k}

$2^k$

— user3613886

@ user3613886，当然可以，但这是一个不同的问题。在这个问题上没有向我们保证变量是二进制的。

— DW

您不能添加琐碎的真实约束来增加输入的大小吗？

— joro 2015年