有关用于编码的字母（）大小的示例

令为字母，即非空有限集。字符串是任何有限的元素（字符）序列。例如，是二进制字母，而是该字母的字符串。$\Sigma$$\Sigma$$\{0, 1\}$$0110$

通常情况下，只要包含超过1元，在元素的确切数字并不重要：在最好的，我们有不同的恒定地方结束。换句话说，我们使用二进制字母，数字，拉丁字母还是Unicode并不重要。$\Sigma$$\Sigma$

在某些情况下，有多少字母是重要的情况？

我对此感兴趣的原因是因为我偶然发现了一个这样的例子：

对于任何字母我们将随机预言定义为从返回随机元素的预言，这样每个元素都有相等的机会被返回（因此每个元素的机会都是）。$\Sigma$$O_{\Sigma}$$\Sigma$$\frac{1}{|\Sigma|}$

对于某些字母和（可能具有不同的大小），请考虑可以访问的oracle计算机的类别。我们对此类中与行为相同的oracle计算机感兴趣。换句话说，我们想使用图灵机将oracle转换为oracle。我们将这种图灵机称为转换程序。$\Sigma_1$$\Sigma_2$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$

令和。转换到Oracle很简单：我们查询两次，转换结果如下：，，，。显然，该程序运行时间为。$\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$$\Sigma = \{ 0, 1, 2, 3 \}$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O_{\Sigma_1}$$00 \rightarrow 0$$01 \rightarrow 1$$10 \rightarrow 2$$11 \rightarrow 3$$O(1)$

现在让和。对于这两种语言，所有转换程序都以时间运行，即没有从到转换程序都以时间运行。$\Sigma_1 = \{ 0, 1 \}$$\Sigma = \{ 0, 1, 2 \}$$O(\infty)$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O(1)$

这可以通过矛盾来证明：假设存在一个从到的转换程序，并在时间内运行。这意味着存在这样最多可以对查询。$C$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$O(1)$$d \in \mathbb{N}$$C$$d$$\Sigma_1$

$C$在某些执行路径中可以进行少于查询。我们可以轻松地构造一个执行的转换程序，跟踪一个Oracle查询被执行了多少次。令为oracle查询数。然后使其他oracle查询，丢弃结果，返回本应返回的内容。$d$$C'$$C$$k$$C'$$d-k$$C$

这样，就有执行路径。恰好这些执行路径将导致返回。但是，不是整数，因此存在矛盾。因此，不存在这样的程序。$|\Sigma_1|^d = 2^d$$C'$$\frac{1}{|\Sigma_2|} = \frac{1}{3}$$C'$$0$$\frac{2^d}{3}$

更一般而言，如果我们具有字母和以及和，则存在一个从到的转换程序，当且仅当所有出现在的质因数分解质数也出现在的质因数分解（因此在因式分解的素数的指数并不重要）。$\Sigma_1$$\Sigma_2$$|\Sigma_1|=n$$|\Sigma_2|=k$$O_{\Sigma_1}$$O_{\Sigma_2}$$n$$k$

这样的结果是，如果我们有一个随机数生成器生成长度为的二进制字符串，则不能使用该随机数生成器以完全相等的概率生成。$l$$\{0, 1, 2\}$

我站在超市时，想着上面的问题，想着晚餐要吃些什么。我想知道是否可以使用抛硬币来决定选择A，B和C。结果证明，这是不可能的。

形式语言理论中有一些示例，其中2个字符和3个字符的字母表给出了性质不同的行为。Kozen给出了以下很好的示例（解释）：

假设字母为 = {1，..，k}（具有标准数字顺序），并将sort（x）定义为单词x的排列，其中x的字母按排序顺序显示。扩展sort（A）= {sort（x）| x A}，并考虑以下索赔：$\Sigma$$\in$

如果A是上下文无关的，则sort（A）是上下文无关的。

此声明对于k = 2是正确的，但对于k 3是错误的。$\ge$

Dinur对PCP定理的证明在很大程度上取决于对字母大小的操纵。

具体而言，证明的整体结构是图赋能技术对图大小次数的对数的迭代应用。在每次迭代中，将图预处理为规则的展开图，并通过幂放大（这会放大字母的大小），然后应用PCP合成（将大字母上的每个约束转化为约束上的约束系统一个小字母）。

该过程的隐式目标是找到一种方法，可以重新使用放大步骤，直到UNSAT值变为恒定分数（证明PCP定理）为止。关键是，除非每次都将字母表大小拉回，否则生成的图形不是最终缩小所需的图形。

您的示例的要求非常严格。如果您放宽它，只要求转换适用于$O(1)$在期待。可以从$\{0,1,2\}$ 期望使用恒定数量的抛硬币。

我不是这方面的专家，但是一个很好的例子是，字母的大小确实很重要是编码和简洁的数据结构。假设您想用字母表示一条消息$\{0,1,2\}$ 用字母 $\{0,1\}$（例如，将其存储在您的二进制计算机中）。您希望最小化所需的空间，但同时又希望能够快速读取和写入消息的各个字符（比如说$O(1)$）。这样的问题已经研究了很长时间了。Dodis，Patrascu和Thorup 最近在其上发表的论文以及其中的参考文献应该是一个很好的起点。

在纠错码中，二进制代码和较大字母上的代码之间可能存在根本的区别，因为某些人认为吉尔伯特·瓦尔沙莫夫（Gilbert Varshamov）的示例可纠正一部分错误（本质上是贪婪或随机的示例）。在二进制情况下是紧密的，并且通过代数几何代码在大字母上并不紧密。这使一些人猜测，大字母纠错码的标准定义不是二进制纠错码的正确模拟。

在我自己的研究中，我遇到了一个有趣的案例，即字母大小的细微差异在所得理论上产生了巨大差异。甲粗略描述学习概率电路的问题的是下面的：学习者可以覆盖一个隐藏电路的栅极，并观察所得到的输出，并且其目标是产生一个“功能上等同”电路。对于布尔电路，只要门对输出有“影响”，就可以隔离从该门到电路输出的影响路径。对于字母大小的电路$\ge 3$情况已不再如此-也就是说，有些电路的门对输出值的影响很大，但对任何一条通往输出的路径都没有影响！我们发现此结果令人惊讶。

结果有些技术性，但是如果您感兴趣，可以将引理8与第4.1节中的相关定理陈述进行对比。