如果P = NP为真，那么量子计算机会有用吗？

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假设P = NP为真。那么，在构建量子计算机方面是否会有任何实际应用，例如更快地解决某些问题，或者基于P = NP为真的事实，这种改进是否无关紧要？如果将量子计算机构建在P = NP的世界（而不是P！= NP的世界）中，您将如何表征效率的提高？

这是有关我要寻找的内容的虚构示例：

如果P！= NP，我们看到复杂度等级ABC等于量子复杂度等级XYZ ...但是，如果P = NP，ABC等级倒塌为相关的UVW等级。

（动机：我对此很好奇，并且对量子计算还比较陌生；如果问题还不够完善，请移植此问题。）

cc.complexity-theory complexity-classes quantum-computing

— 菲利普·怀特
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9

我们不知道

意味着

，因此即使

... ，

中可能存在一些不在

问题。或不

是

....

P = N P

${P}={NP}$

B Q P = P

${BQP}={P}$

B Q P

${BQP}$

P

${P}$

P = N P

${P}={NP}$

B Q P

${BQP}$

P H

${PH}$

— 的Tayfun收费

4

基本上，

类捕获“有效”的量子算法（有界误差量子多项式时间）。这就是为什么Tayfun对您的问题进行形式化是自然的问题，例如，如果

，那么问题仍然不在

，而在

呢？显然，这与我们目前的知识是一致的。

B Q P

$BQP$

P = N P

$P=NP$

P

$P$

B Q P

$BQP$

— usul 2015年

30

Scott Aaronson 的论文“ BQP和多项式层次结构 ”直接解决了您的问题。如果P = NP，则PH将崩溃。如果BQP处于PH中，那么在这种情况下将不可能实现量子加速。另一方面，Aaronson给出了PH以外的量子加速问题的证据，因此这种加速将在PH崩溃后继续存在。

— 马丁·施瓦兹
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10

实际上，亚伦森本人证明了自己基于这项工作的猜想是错误的。参见scottaaronson.com/papers/glnfalse.pdf

— Alex

5

@AlexGrilo本文中的某些结果是无条件的，而且仍然存在：BQP和PH的关系版本之间存在Oracle分隔。

— Sasho Nikolov

8

澄清：虽然“广义Linial-Nisan猜想”被证明是错误的，但PH中不存在Fourier Checking /“ Forrelation”问题的猜想仍然成立。只是需要其他方法来证明这一点。另外，我可以加强我的结果，即存在一个与BPP ^ PH中不存在BQP关系问题的预言，表明存在一个与P = NP相关但不存在BQP关系问题的预言。这是一个直接的扩展，但是不幸的是我还没有写出来。

— Scott Aaronson

9

答案是肯定的。量子计算机肯定仍然有用。

量子计算机不是BQP的预言家，而是处理量子状态并可以使用量子状态进行通信的设备。正如进行非确定性查询的能力从根本上比进行纯粹确定性查询的能力更强大（独立于P vs NP的状态（这确实是oracle分离的根源））一样，进行量子查询的能力从根本上说，使用量子态进行通信比纯经典通信更为强大。

这导致了在广泛应用中的优势

可以通过重叠查询Oracle或外部数据库的功能，在查询复杂性方面实现了量子计算机和经典计算机之间的可证明的分隔。
有各种各样的通信任务，使用量子通信可以大大降低通信成本。
量子信息处理可为理论上比传统上更广泛的问题提供信息安全的协议。当然，QKD不需要实现通用量子计算机，但是许多用于其他任务的协议确实需要实现。
大的纠缠量子态的预处理和后处理使您可以违反计量学中的散粒噪声限制，从而实现更精确的测量。

除了复杂性的论点外，还有另一个实际的原因需要量子计算机。如今，经典计算机上处理的许多数据都是来自感知自然世界（例如，通过数码相机中的CCD）。但是，这样的测量必须丢弃一些有关系统的信息，以便将测量结果呈现为经典的位串（例如，折叠的光子的空间叠加），并且并不总是清楚哪些信息在以后将被视为最重要的信息。最初记录数据。因此，有理由相信，越来越需要直接存储和处理量子态而不是在处理之前以某种方式使其崩溃的能力。

— 乔·菲茨西蒙斯
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4

处理实际部分。

$P=NP$ $O(n^{2^{10^3}})$

$O(n^{10^{10000}})$

据我所知，在这种情况下，足够强大的量子计算机将具有实际意义。

— 柔罗
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n^{2^{10^{3}}}

$n^{2^{10^3}}$

@SashoNikolov我讲实用。到目前为止，由于RSA密钥的缘故，有效地分解2048位整数的量子计算机将是我的实际兴趣。

— joro 2015年

我相信可以通过量子计算机获得线性时间排序算法。

— 宝贝龙2015年

2

关于BQP和多项式层次PH之间的关系已有研究。例如，存在一个与PH中不包含BQP有关的问题（http://arxiv.org/abs/0910.4698），并且有一个猜想在未相对化的世界中证明了相同的结果（http://arxiv.org /abs/1007.0305 $P^{\# P}\subseteq BPP^{PH}$

总之，我们不知道量子计算机的确切功能是什么，但是有结果表明BQP可能不在PH范围内。

— 新植物
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