AFAIK，使用高阶函数的第一个证据可以追溯到Schönfinkel在1924年发表的论文：“论数学逻辑的基础” –他允许一个将函数作为参数传递给其他函数。

这似乎很有趣。但是，我一直在阅读的有关他的作品的所有内容（以及扩展的Curry）似乎都暗示着某种形式的另一种事物：[高阶函数] ...这消除了对绑定变量的需要...

我没办法把头缠住-有什么大不了的？为什么当时的逻辑学家和数学家对此很关心？作为理论家，我们今天是否在乎这一点？为什么要摆脱绑定变量是“突破性的”，以及它对我们（我们知道的）理论上（或理论上）产生了什么影响？

PS：我知道他的工作是如何为微积分铺平道路的，以及“它”对总体计算和函数编程的影响。我的问题主要针对的是λ微积分创建之前和Schönfinkel论文发表之后的时间。库里（Curry）独立承担起那项工作的事实（后来被称为“组合逻辑”）也暗示了舍芬克尔工作的重要性。$\lambda$$\lambda$

TL; DR。绑定的元数学是微妙的：它们看起来微不足道，但不是—无论您是处理（高阶）逻辑还是𝜆微积分。它们是如此微妙，以致于具有约束力的表示形式形成了一个开放的研究领域，并在几年前举办了一场竞赛（POPLmark挑战）。该领域的人们甚至开玩笑说绑定方法的复杂性。

因此，如果您关心元数学（大多数数学家并不关心），则需要处理绑定问题。但是，许多数学家可以安全地将绑定形式化视为“基础”问题。

另一点是，绑定是具有高阶函数的语言中唯一的“新”问题，因为具有绑定的语言的理论只是代数（对于常量）+绑定。米切尔（Mitchell）的“编程语言基础”实际上是以这种顺序呈现事物的，并且颇具启发性。

我知道他的工作如何为λ演算铺平道路，以及“它”对总体计算和函数编程的影响。我的问题主要针对的是λ微积分创建之前和Schönfinkel论文发表之后的时间。

我一定想念一些东西，但这句话似乎没什么作用。在高阶逻辑中进行绑定和在λ微积分中进行绑定似乎很困难，因此，只要人们关心高阶逻辑，就必须处理绑定。我偏向于使用基于Curry-Howard同构的定理证明，这些证明只是通过简单地执行类型理论（其中类型是公式，程序是证明项）来实现逻辑，因此我只处理绑定一次。

另一方面，IIRC当时确实很少有人关心Schönfinkel的工作-部分是因为他（没有）发表它-这些论文主要是由同事根据他所做的研究撰写的（请参阅此处，第4页） ; 然后，库里独立地重新发现了这一理论。

警告：我不是历史学家，而是PL的博士生，所以我的观点是现代的（希望是准确的）观点。

编辑：

为什么绑定比较细微，更具体一点

它有两个方面-首先，实现它很困难。其次，超数学是证明操纵的数学：这种操纵通常是自动的，也就是说，它是一种算法 -因此，从本质上讲，您面临实现的所有困难，并为其提供证明。下面我举个例子。这些示例具有现代观点-它们实际上是形式化的证明。但是，只要您不作弊，某些困难将扩展到准确的手动打样。

这表明Schönfinkel只是简单地为这个问题提供了第一个解决方案，但这远非确定的。

由于存在阴影，实现它很微妙

$(\lambda f. f~1 + f~2) (\lambda x . x)$$(\lambda x . x)~1 + (\lambda x . x)~2$$(\lambda f x. f (f x))\ (\lambda g y . g~y)\ z$$(\lambda g y . g~y)\ (\lambda g y . g~y)\ z$$(\lambda y . (\lambda g y . g~y)~y)\ \ z$

$\lambda x y. x$$y$$\lambda y. y$$\lambda y'. y$

更糟糕的是，当您已经知道问题时，很难构造幼稚算法的反例，更不用说不知道该问题了。几乎正确的算法中的错误通常多年未发现。我听说，即使是优秀的学生，也通常无法（靠自己）提出避免捕获替代的正确定义。实际上，博士生（包括我在内）和教授都无法摆脱这些问题。

这就是为什么有些人（包括本杰明·皮尔斯撰写的关于编程语言，类型和编程语言的最佳教科书之一）推荐无名表示的原因（尽管使用了不完全的组合逻辑，但使用了deBrujin索引）。

关于它的证明是微妙的

事实证明，如上所述，关于绑定的证明并不比实现简单。当然，存在正确的算法，并且存在关于它们的证明，但是没有先进的设备，对于每种使用装订的语言，您都需要重复这些证明，而如果您使用定义在笔和纸上装订的话，这些证明将非常庞大且令人讨厌。

$B$$A$$A$$B$$B$

接下来，我查看了“最好的例子，如果您尝试对标准定义进行形式化会出问题”。Russell O'Connor（在此站点上的人）在Coq（上述类型的定理证明者）中形式化了第一个Gödel不完全性定理—并且该定理在另一个逻辑中（用的语法为第一个逻辑编码为数字）。他使用了纸上使用的定义，并将其直接形式化。搜索“替代”或“变量”，并计算它们在参考问题时出现的频率，以获得印象。 http://r6.ca/Goedel/goedel1.html

我在工作中从未使用过这些定义，但是每种替代方法都有一些缺点。