量子矩阵乘法？

似乎这不是众所周知的-但是在量子计算模型中矩阵乘法的复杂性是否有有趣的下界？我们是否有直觉可以击败使用量子计算机的Coppersmith-Winograd算法的复杂性？

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— 袁
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Answers:

在输出矩阵只有很少的非零条目的情况下，Buhrman和Spalek 在arXiv：quant-ph / 0409035v2中提出了一种量子算法，它击败了Coppersmith-Winograd算法。

更新：Dörn和Thierauf还对量子算法做了一些改进。

更新：Le Gall击败了Burhman和Spalek，总体上改进了量子算法。

— 马丁·施瓦兹
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这对我来说是新事物（我对量子结果一无所知），但是瞥一眼论文，结果就更令人惊讶了！如果对于

矩阵乘法，则有

A_{n x m} B_{m x n} = C_{n x n}

$A_{nxm}B_{mxn}=C_{nxn}$

在输出中为非零项，则可以在二次时间

计算乘积。

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

o (n m)

$o(nm)$

— Daniel Apon 2010年

有一个轻微改善此布尔矩阵乘积的特殊情况下，最小{

}时有

输出nonzeroes。（它出现在我们的FOCS'10论文“路径，矩阵和三角形问题之间的亚三次等效性”。）

n^{1.3} w^{17 / 30}, n^{2} + w^{47 / 60} n^{13 / 15}

$n^{1.3}w^{17/30}, n^2 + w^{47/60} n^{13/15}$

w

$w$

— virgi 2010年

最近的改进

在布尔矩阵产品的情况下是arxiv.org/abs/1112.5855，具有也匹配下界。

n w^{1 / 2}

$nw^{1/2}$

— 亚伯·莫利纳

如果您有兴趣将两个矩阵相乘并获得完整的经典结果，那么Martin的回答可能是对您问题的确定答案。但是，如果您要计算类似则可以非常高效地执行此操作。Harrow，Hassidim和Lloyd具有用于计算的算法（arXiv：0811.3171），该算法在稀疏矩阵的矩阵维度上仅是对数的。似乎很直接地使这种方法适用于计算乘积而不是逆。 $v^\dagger X Y v$ $v X^{-1} v$ $X$

— 乔·菲茨西蒙斯
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在这种情况下，运行时仍将取决于矩阵的条件数，并且矩阵将必须具有复杂的条目。另外，如果X和Y是稀疏的，那么他们的产品，和

可以用经典的利用随机抽样的同类指数增速的估计。

v^{'} X Y v

$v'XYv$

— Aram Harrow

@Aram：好点！我知道您的算法适用于稀疏矩阵，但我的印象是，它也可以适用于某些非稀疏矩阵。它是否正确？

— Joe Fitzsimons 2010年

是的，只要我们知道模拟那些哈密顿量的好方法，它就适用于非稀疏矩阵。因此，这里可能有不平凡的事情。

— Aram Harrow

@Aram：使用您使用的编码时，我们是否还无法通过QFT获得所有稀疏矩阵的傅立叶变换？

— 乔·菲茨西蒙斯

@乔：我只是注意到这一点。是的，这些矩阵（您可以将其视为动量基础上的稀疏矩阵）也可以使用。这并不是我们的算法所独有的。相反，这是关于我们知道如何在量子计算机上进行模拟的哈密顿量类的说明。

— Aram Harrow