成对的独立高斯

给定 $X_1,\ldots,X_k$ （均值为 $0$ 且方差为 iid高斯 $1$ ），是否有可能（如何对进行采样 $m=k^2$ ） $Y_1, \ldots, Y_m$ 使得 $Y_i$ 是成对的独立的高斯，均值为 $0$ ，方差为 $1$ 。

derandomization pr.probability

— 卡韦
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@Suresh，

所以它似乎不起作用。

E [(X_{i} + X_{j}) (X_{i} + X_{k})] = E [X_{i}^{2}] = 1

$E[(X_i+X_j)(X_i+X_k)] = E[X_i^2] = 1$

— 卡夫

我不知道为什么，但我觉得MO回答这个问题相当热闹（除了指针stats.SE）：mathoverflow.net/questions/46180/...

— 苏雷什Venkat

我一直在寻找类似线性组合（显然不起作用）或多项式等（不能立即起作用）的东西，但是我真的无法想到Shai关于mathoverflow的答案不能满足的任何合理概念。

也许您应该更新指出MO答案的问题？

— Suresh Venkat

您是否需要联合高斯分布？如果是这样，您所需的似乎似乎是不可能的，因为这样的分布是由其协方差矩阵确定的，因此，成对独立性和完全独立性将是相同的。

— MCH 2012年

Answers:

MathOverflow上的帖子介绍了如何从少量独立的Uniform [0,1]随机变量变为大量成对独立的Uniform [0,1]随机变量。您当然可以通过反转CDF在Uniform [0,1]和高斯之间来回移动。但这需要进行数值分析，因为CDF并非封闭形式。

$X_1, X_2$ $\arctan(X_1/X_2)$ $[0,2 \pi]$

类似地，Box-Muller方法将两个独立的Uniform [0,1]变量转换为两个独立的高斯随机变量。

$O(1)$

— 戴维·哈里斯
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-2

$|Y_{i,j}| = |Y_{i,j'}|$

对于每个对，让，其中是符号函数。显然，每个是均值为0且方差为1的正态变量。要看到它们是正交的，对于，请注意，可以通过查看之间可能相等的各种情况轻松地将其检查为等于0 。 $(i,j) \in {[k] \choose 2}$ $Y_{i,j} = |X_i| \cdot \sigma(X_i X_j)$ $\sigma(\cdot)$ $Y_{i,j}$ $(i,j) \neq (i',j')$

E [Y_{i, j} Y_{i^{'}, j^{'}}] = E [| X_{i} X_{i^{'}} | \cdot σ (X_{i} X_{i^{'}} X_{j} X_{j^{'}})]

$\mathbb{E}[Y_{i,j}Y_{i',j'}] = \mathbb{E}[|X_i X_{i'}| \cdot \sigma(X_i X_{i'} X_j X_{j'})]$

i, i^{'}, j, j^{'}

$i,i',j,j'$

PS：以前的版本错误地声称成对独立。

— 阿纳布
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我不能理解为什么乘积的平均值为零将意味着独立。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@TsuyoshiIto：当然，您的批评是正确的。我仍然保留这个答案，因为我认为这很有趣。

— arnab 2012年

如果您想保留自己的职位，请采取必要的预防措施，以免混淆读者。您可能会争辩说，您帖子的当前版本（修订版3）并未声明任何错误。是的，但问题是有问题的，而您的帖子却没有说明其他问题。请理解，这会使读者感到困惑。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）