弗里德曼（不可证明）上移不动点定理的计算结果？

哈维·弗里德曼（Harvey Friedman）指出，存在一个整齐的不动点结果，无法在ZFC中证明（通常采用选择公理的Zermelo-Frankel集合论）。许多现代逻辑都建立在不动点运算符的基础上，所以我想知道：理论计算机科学的上移位不动点定理是否有任何已知结果？

不可证明的上移定点定理
对于所有，某些包含。 $R \in \text{SDOI}(Q^k,Q^k)$ $A = \text{cube}(A,0) \setminus R[A]$ $\text{us}(A)$

USFP定理似乎是语句，因此它对可计算性（例如检查自动结构的非同构性）可能“足够接近”，从而影响理论计算机科学。 $\Pi^1_1$

为了完整起见，以下是Friedman在2009年11月发表的MIT演讲中的定义（另请参阅“布尔关系理论”草稿）。

$Q$ 是有理数的集合。是为了等效如果每当然后。当，的上移，表示为，是通过将每个非负坐标加1来获得的。一个关系是顺序不变，若对所有顺序不变等效它认为。关系 $x, y \in Q^k$ $1 \le i,j \le k$ $x_i \lt x_j \Leftrightarrow y_i \lt y_j$ $x \in Q^k$ $x$ $\text{us}(x)$ $x$ $A \subseteq Q^k$ $x,y \in Q^k$ $x \in A \Leftrightarrow y \in A$ $R \subseteq Q^k \times Q^k$ 如果是的子集，则是阶不变的，并且无论何时所有严格支配则。此外，如果是的子集，则表示，的上移是和表示最小，使得中的和包含在。让 $R$ $Q^{2k}$ $x,y \in Q^k$ $R(x,y)$ $\max(x) \lt \max(y)$ $A$ $Q^k$ $R[A]$ $\{ y | \exists x \in A R(x,y)\}$ $A$ $\text{us}(A) = \{\text{us}(x) | x \in A\}$ $\text{cube}(A,0)$ $B^k$ $0 \in B$ $A$ $B^k$ $\text{SDOI}(Q^k,Q^k)$ 表示所有严格支配阶不变关系的集合 $R \subseteq Q^k \times Q^k$ 。

编辑：正如DömötörPálvölgyi在评论中指出的那样，以和为有理数的通常排序似乎产生了反例。首先，集合不能为空，因为随后也为空，并且立方体条件必须包含0，这是一个矛盾。如果非空集有一个最小值，那么它不能包含任何大于此的有理数，因此它必须是单身，这与上移条件相矛盾。另一方面，如果没有最小值，则因此必须为空，这是一个矛盾。 $k=1$ $R$ $A$ $R[A]$ $A$ $A$ $A$ $R[A] = Q$ $A$ ~~关于是否存在任何隐藏的，非显而易见的定义问题，例如可能存在一个隐含的非标准理性模型的评论？~~

进一步编辑：上面的参数大致正确，但是在上移应用中是错误的。该运算符仅适用于非负坐标，因此将设置为任何负单例集会根据需要产生一个固定点。换句话说，如果则是一个解，没有其他解。 $A$ $m < 0$ $A = \{m\}$

computability lo.logic

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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有人可以向我详细解释该声明吗？例如。如果k = 1且R是x <y，那么A是什么？

— domotorp 2010年

R是SDOI。如果A没有无穷大，则R [A]将为Q，而A为空。因此，令m为A的最小值。则R [A]将包括m之上的所有有理数。因此，A必须排除m之上的所有有理数，因此必须恰好是包含m的单例集。但是，us（A）必须包含m + 1个矛盾。因此，唯一一致的情况是A为空。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon），2010年

我当时的想法是一样的，但是我感觉有点被骗。为什么cube（A，0）不包含0？也许我不理解某些东西的定义。如果在这种情况下空集有效，为什么对所有R都不起作用？

— domotorp 2010年

您有一个很好的观点，添加了注释，将需要进行更多的挖掘。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon），2010年

@domotorp：神秘的问题：再次检查us（x）的定义。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

我不知道这个特定定理的任何后果，但是像归纳结构的演算一样，lambda结石的归一化证明依赖于大基数公理-即使lambda项的集合尽可能多地需要。

我认为，理解主张大基数存在的集合论公理的计算意义的最佳方法是，将集合论视为表述图论的一种方式。也就是说，集合的模型是配备有用于解释成员关系的二进制关系的元素的集合。然后，集合论的公理告诉您隶属关系的属性，包括如何从旧的形式形成新的集合。特别地，基础公理意味着成员关系是有充分根据的（即，它没有无限的下降链）。这又有充分的根据，这意味着，如果您可以将程序的执行状态与集合中元素的可传递成员资格对齐，那么您将拥有终止证明。

因此，存在一个“大”集的断言具有计算上的收益，因为它声称通用递归编程语言中的某些类循环会终止。从无穷大的普通旧公理（证明自然数迭代是合理的）一直到大基数公理，这种解释一直有效。

这些公理是真的吗？好吧，如果公理为假，则可以在这些不终止的类中找到一个程序。但是，如果这是真的，那么由于停止定理，我们将永远不确定。从自然数归纳开始的所有事情都是科学归纳的问题，这总是可以通过实验来伪造的-爱德华·尼尔森曾著名地希望证明幂运算是部分函数！

— 尼尔·克里希纳斯瓦米（Neel Krishnaswami）
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