复杂性理论中有守恒定律吗？

让我从一些例子开始。为什么在C中显示CVP如此琐碎，而在P中显示LP却如此困难？而两者都是P完全问题。

或接受素养。与NP中的质数（需要Pratt）以及最终在P中的质数相比，NP中的复合物更容易显示。为什么它必须完全显示这种不对称性？

我知道希尔伯特（Hilbert），对创造力的需求，NP中的证明等。但这并没有阻止我产生一种令人不安的感觉，即这不仅仅满足于视觉。

在复杂性理论中是否存在可量化的“工作”概念和“守恒律”？例如，这表明即使CVP和LP都是P完全的，它们也将它们的复杂性隐藏在“不同的地方”-一个在归约中（CVP是否简单，因为所有工作都在归约中完成？），语言的可表达性。

还有其他人感到疲倦并且有一些见解吗？还是我们耸耸肩说/接受这就是计算的本质？

这是我向论坛提出的第一个问题：双手合十。

编辑： CVP是电路值问题，LP是线性编程。 感谢Sadeq，指出混乱之处。

这个问题已经困扰我很多次了。

我认为值得一看的地方是信息理论。这是我的推测。给定一个问题，也许我们可以给作为输入的信息和从算法接收的信息提供某种熵值。如果我们能够做到这一点，那么解决该问题的算法将需要最少的信息获取量。

我想找出一件事。在某些NP完全问题中，您可以在P中找到受约束的版本。如果您将图形指定为DAG，则使用汉密尔顿路径，则可以使用p时间算法来解决。对于TSP之类的其他问题，通常会有一些p时间算法来逼近最佳算法。在我看来，对于受约束的p时间算法，假定的附加信息与运行时复杂度降低之间应该存在某种比例关系。对于TSP，我们不假设其他信息，而是放宽了精度，我希望它对任何类型的算法信息增益都具有类似的影响。

关于养护法的注意事项

在1900年代初期，鲜有名叫Emily Noether的德裔美国数学家。爱因斯坦（Einstein）和希尔伯特（Hilbert）将她描述为数学史上最重要的女性。在1915年，她发表了现在被称为Noether的第一定理。该定理是关于守恒的物理定律，并说所有守恒定律在物理系统中都有相应的微分对称性。角动量的守恒来自空间的旋转对称性，线性动量的守恒是空间的平移，能量守恒是时间的平移。鉴于此，要使某种形式上的复杂性守恒定律在Langragian函数中需要相应的微分对称性。

我认为原因在于我们使用的逻辑系统内。每个正式系统都有一套公理和一套推理规则。

形式系统中的证明只是一系列公式，以使该序列中的每个公式都是一个公理，或者是通过应用推理规则从该序列中较早的公式获得的。形式系统定理只是证明中的最后一个公式。

假设一个定理的证明在逻辑系统中是可确定的，则它的长度完全取决于公理集和推理规则。

例如，考虑命题逻辑，对此有几个特征：Frege（1879），Nicod（1917）和Mendelson（1979）。（有关更多信息，请参见此简短调查。）

后者系统（Mendelson）具有三个公理和一个推理规则（惯性方式）。鉴于这种简短的描述，即使是最琐碎的定理，也很难证明，例如。在这里，我很难说的是，证明的最小长度是高的。$\varphi \to \varphi$

这个问题称为证明复杂性。引用Beame＆Pitassi：

逻辑的最基本问题之一是：给定一个普遍正确的陈述（重言式），在某些标准公理证明体系中，该陈述的最短证明的长度是多少？这个问题的命题逻辑形式对于定理证明和复杂性理论在计算机科学中尤其重要。与算法有关的重要问题是：是否有一种有效的算法可以证明重言式？是否有一种有效的算法可以产生最重的重言式证明？这些定理证明和复杂性问题激发了库克关于NP完备性的开创性论文，特别是题为“定理证明程序的复杂性”，甚至早在Gödel在给冯·诺伊曼（von Neumann）的著名信中就得到了考虑。

前几天，当我重播费曼的物理讲座时，我想到了同样的问题，并参加了关于能量守恒的第四课。在演讲中，费曼以一个简单的机器为例，该机器（通过某种杠杆或皮带轮系统或其他系统）将一个单元的重量降低一定距离x，并使用该机器举起第二个3单元的重量。举重可以提升到多高？Feynman观察到，如果机器是可逆的，那么我们不需要了解机器的机械原理，我们可以像对待黑匣子一样对待它，并且它始终可以将重量举起至最大距离（在这种情况下为x / 3）。

在计算中有模拟吗？可逆计算的想法让我想到了Landauer和Bennett的工作，但是我不确定这是否是我们感兴趣的术语。凭直觉，如果我们有一个针对某些最佳问题的算法，那么就不会浪费任何浪费时间的“工作”；而用暴力手段解决同一问题将左右扔掉CPU周期。但是，我认为可以为这两种算法构造一个物理可逆电路。

我认为针对计算复杂性采用守恒定律的第一步是要弄清楚应该守什么。空间和时间都是重要的度量标准，但是从空间/时间权衡的存在中可以清楚地看出，没有一种方法本身可以满足算法完成多少“工作”的需要。还有其他指标，例如已使用的TM磁头反转或磁带单元交叉。这些似乎与我们对执行计算所需的“工作”量的直觉似乎真的不相近。

问题的另一面是弄清楚将工作转换成什么。获得程序的输出后，您究竟获得了什么？

一些观察表明存在守恒定律：

$<_p$$P\ne NP$

$P=\{L| L<_p HornSAT \}$

$NP=\{L| L<_p 3SAT \}$

$CoNP=\{L| \bar L<_p 3SAT \}$

$NPC=\{L| L<_p 3SAT, 3SAT<_p L \}$

$PC=\{L| L<_p HornSAT, HornSAT<_p L \}$

$P$$P=\{L| L<_p HornSAT, \bar L <_p HornSAT \}$$P$$NP$$P=NP$

陶建议在数学上存在守恒定律：“为了证明任何真正不平凡的结果，必须在某个地方做一些艰苦的工作”。

他认为，某些数学证明的难度表明，定理证明过程所需的努力量较低。