开放复杂性差距较大的问题

32

这个问题是关于已知下限和上限之间存在很大的开放复杂性差异的问题，而不是因为复杂性类本身存在开放性问题。

为了更精确，比方说，一个问题有间隙类 $A,B$ （与 $A\subseteq B$ ，不能唯一地定义），如果是最大类，我们可以证明它是 -hard，和是最小的已知上限，即我们在有一个算法可以解决问题。这就意味着，如果我们最终发现，这个问题是 -完全与，也不会影响复杂性理论在一般情况下，而不是寻找一个的算法 -完全问题。 $A$ $A$ $B$ $B$ $C$ $A\subseteq C\subseteq B$ $P$ $NP$

我对和问题不感兴趣，因为它已经是此问题的对象。 $A\subseteq P$ $B=NP$

我正在寻找尽可能多的缺口类问题的例子。为了限制范围并问题，我对和问题特别感兴趣，这意味着和成员资格-都与当前知识保持一致，而不会导致已知类崩溃（例如此列表）。 $A\subseteq P$ $B\supseteq EXPTIME$ $P$ $EXPTIME$

cc.complexity-theory complexity-classes big-list

— 丹尼斯
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您所说的问题类别是什么意思？假设问题是SAT，您如何定义类？

— RB

SAT是NP完全的，因此我们可以取

并且这里没有差距，因为SAT的复杂性正好与一个已经众所周知的类匹配。显示有关SAT复杂性（即属于较小类）的任何新结果将是复杂性理论的突破。当然，这个问题并不是完全定义明确的，因为它取决于哪些复杂度类别被视为“主流”，并且

并非唯一定义。但是，特定的问题是明确定义的：与当前知识一致的语言示例（它们是P或EXPTIME完整的）。

A = B = N P

$A=B=NP$

A, B

$A,B$

— 丹尼斯

实际上，由于“不崩溃”，它仍然没有完全定义清楚，因此它依赖于“知名类”的概念。显然，PSPACE完全问题不符合要求，尽管处于P或EXPTIME完全问题与当前知识一致。例如，此列表可用作什么是“知名”类的参考：en.wikipedia.org/wiki/List_of_complexity_classes

— Denis，

13

它并不完全适合您的特定问题，但是从表面上看，实在论的存在论顽固地抵制了除NP难论和PSPACE之外的任何进一步分类（后者是1988年JF Canny的结果）。zh.wikipedia.org/wiki/Existential_theory_of_the_reals

— 银莲花

28

该结等价性问题。

给定在飞机上绘制的两个结，它们在拓扑上是否相同？已知此问题是可以判定的，并且在P中似乎没有任何计算复杂性的障碍。就其时间复杂性而言，目前已知的最佳上限似乎是高度为 s的塔，其中，并且是结图中的交叉数。这是由Coward和Lackenby限制的，Reidemeister采取一个结点到一个相等结点所需的动作数。参见拉肯比的最新论文 $2$ $c^n$ $c = 10^{10^{6}}$ $n$ 对于一些最近的相关结果以及上面我给出的边界的明确形式（第16页）。

— 彼得·索尔
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谢谢您的回答。您知道目前的界限吗？您能否指向说明当前技术水平的参考？我很难找到一个清晰的。

— 丹尼斯

我一直在努力寻找比1998年Hass，Lagarias和Pippenger的论文更新的东西。这表明已知的结等效问题是可以判定的。从那时起，如果有人证明它是在EXPTIME中，我不会感到惊讶，但是我不相信有什么比已知的更好，而且也不清楚它不在P中。我很确定没有结果表明，确定是否在NP中打结的问题扩展到了这个更普遍的问题。

— 彼得·索尔

这个MO问题与以下内容有关：mathoverflow.net/questions/77786/… 特别是，使用Lackenby在people.maths.ox.ac.uk/lackenby/ekt11214.pdf中宣布的最新结果，可以得出对于任何结型K，确定给定的结是否等于K在NP中（请注意，这在“结等价问题”上没有改善）

— Arnaud 2015年

@Arnaud：事实上，它看起来对我来说，这些结果证明了两个图表与最多n个口岸，结等价性问题可在时间上大多数解决2米的高度的塔

，其中

是一个巨大的常数。我应该检查一下并编辑答案。

c^{n}

$c^n$

c

$c$

— 彼得·索尔

@PeterShor是的。我专注于较新的结果，因为如果显式了实际的多项式，它可能会在发布时导致更好的界限。

— Arnaud 2015年

23

这是最小电路尺寸问题（MCSP）的一个版本：给定布尔函数的位真值表，它的电路尺寸是否最大为？ $2^n$ $2^{n/2}$

已知不在。包含在。通常认为是硬的，但这是开放的。我相信它甚至都不是 -hard。确实，最近与Cody Murray（将出现在CCC'15中）的研究表明，从PARITY到MCSP 并没有统一的NC0降低。 $AC0$ $NP$ $NP$ $AC0[2]$

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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23

计算无理代数（例如）的位（以二进制指定）的复杂性）通过减少问题，具有已知的这个上限[ABD14]，因此具有最著名的上限。另一方面，我们甚至不知道这个问题是否比计算位的奇偶校验难，因为我们都知道这个问题可能在。但是请注意，我们知道没有有限的自动机可以计算无理代数[AB07]的位 $\sqrt{2}$ $\mathsf{P^{{{PP}^{PP}}^{PP}}}$ $\mathsf{BitSLP}$ $n$ $\mathsf{AC^0}$

— 萨米德
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21

在精神上与Peter Shor的答案相似的另一个自然拓扑问题是二维抽象单纯形复合体的可嵌入性 $\mathbb{R}^3$ 。通常，自然会问我们何时才能有效/有效地决定可以在嵌入抽象的维简单复形 $k$ 。对于和这是图形平面性问题，并且具有线性时间算法。对于和，还有一个线性时间算法。的 $\mathbb{R}^d$ $k=1$ $d=2$ $k=2$ $d=2$ ，案件开庭至去年，当时由Matousek，Sedgwick，Tancer和Wagner证明可以判定。他们说，他们的算法具有原始的递归时间范围，但大于指数塔。另一方面，他们推测有可能将问题放在NP中，但要超越这一点将具有挑战性。但是，似乎没有任何有力的证据证明多时算法是不可能的。 $k=2$ $d=3$

后者有许多参考资料可供进一步阅读。

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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16

多计数器自动机（MCA）是配备计数器的有限自动机，可以在一个步骤内递增和递减，但只能将> = 0的整数作为数字。与Minsky机器（又名计数器自动机）不同，MCA不允许测试计数器是否为零。

与MSC相关的巨大算法问题之一是可达性问题。例如，自动机是否可以从具有初始状态且所有计数器为零的配置到达具有接受状态且所有计数器再次为零的配置。

EXPTIME（如Richard Lipton在1976年所示）很难解决，可以决定（Ernst Mayr，1981）并且可以解决Fω3（感谢Sylvain，指出了这一点）。差距很大。

— 托马斯·S
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3

嗨，托马斯，在最近的arXiv论文arxiv.org/abs/1503.00745中声称有一个明确的（并且很可能不是很严格的）复杂性上限。在建议的上限

但是远远超出了复杂性类的原始海报是感兴趣的

F_{ω^{3}}

$\mathbf{F}_{\omega^3}$

— 西尔

@Sylvain酷！感谢您分享。:)

— Michael Wehar 2015年

@Sylvain EXPTIME是最著名的下限吗？

— Michael Wehar 2015年

2

@Michael：决策问题的最佳下界实际上是EXPSPACE（Lipton，1976年，cpsc.yale.edu / sites / default / files / files / tr63.pdf）。但是，该算法由Mayr（1981，dx.doi.org/10.1145/800076.802477 )、Kosaraju（1982，dx.doi.org/10.1145/800070.802201）和Lambert（1992，dx.doi.org/10.1016/0304-） 3975（92）90173-d ）分析在所提到的arXiv纸已知需要至少Ackermannian（即，

）的时间。

F_{ω}

$\mathbf{F}_\omega$

— 西尔万2015年

@Sylvain非常感谢您提供所有其他信息。对此，我真的非常感激。:)

— Michael Wehar'3

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（量子梅林-亚瑟具有两个非缠结证明器）：当然 -hard，但仅已知在。 $\mathsf{QMA}(2)$ $\mathsf{QMA}$ $\mathsf{NEXP}$

— 马丁·施瓦兹
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9

关联诺特定理归为明确品种的计算问题（在意义上的“显性” 本文 [ 免费提供的完整版 ]）。最著名的上限是（请注意，空格，而不是TIME！），但是推测它在（实际上，在存在本质上等同于对PIT进行随机化）。 $\mathsf{EXPSPACE}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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您能以明确的形式提供更多信息吗？看起来像某种bpp完全问题？

@Arul：从我所知的任何角度来看，PIT或此问题都不是BPP完整的。（实际上，证明存在BPP完全问题仍然是公开的，并且需要非相对论性技术-结果可以回溯到Sipser。）但是，非随机化要么具有硬度-随机性的权衡，因为它们的随机化本质上是等同的下限。除了答案中链接的论文（“ GCT 5”）之外，还包括查找硬度随机性和Kabanets-Impagliazzo。

— 约书亚·格罗夫

我会这样做，但是我对这个短语“很感兴趣，并且确实，它在P中实际上等同于对PIT进行随机化”，这似乎表示PIT是某种代理完全问题

@Arul：是的，要了解PIT为什么是这样的“代理完全问题”，请参阅我之前的评论中提到的内容。

— 约书亚·格罗夫

为什么他在许多作品中都使用“献给斯里兰卡罗摩克里希纳”？

6

的斯科伦问题（给出整数基例和整数系数的线性复发，它曾经达到值0）已知是NP-hard的，而不是已知是可判定的。据我所知，这两者之间的任何内容都将与我们当前的知识相一致，而不会破坏标准复杂性类。

— 大卫·埃普斯坦
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