是否足以对一个排序网络的多项式0-1序列进行排序？

0-1原则表示，如果排序网络适用于所有0-1序列，则适用于任何数字集。是否有一个使得如果网络对S中的每个0-1序列进行排序，那么它对每个0-1的序列进行排序，并且的大小是多项式？ $S\subset \{0,1\}^n$ $S$ $n$

例如，如果由其中存在最多的所有序列的试验1级的的（时间间隔），则在那里分选网络N和，如果所有成员不被N有序序列由N有序？ $S$ $2$ $S$

答案：从答案及其注释中可以看出，答案是，对于每个未排序的字符串，都有一个对其他所有字符串进行排序的排序网络。以下是对此的简单证明。令字符串使得永远且。由于未排序，因此排序后应该为。将与每个进行比较。然后比较每对，使得和 $s=s_1\ldots s_n$ $s_i=0$ $i<k$ $s_k=1$ $s$ $s_k$ $0$ $k$ $i$ $s_i=1$ $(i,j)$ $i\ne k$ $j\ne k$ 多次。这使整个字符串保持排序状态，可能是除外，而则未对排序，而某些其他字符串的大于。现在比较对 DOWNTO，除了住的地方应该走。这将对除所有内容进行排序。 $s_k$ $s$ $1$ $s$ $s_k$ $i=n$ $1$ $s_k$ $s$ $s$

更新：我想知道如果将网络深度限制为会发生什么。 $O(\log n)$

ds.algorithms sorting sorting-network

— 多摩普
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似乎必须将排序网络的大小限制为小于的大小。否则，网络不能仅检查输入是否为的元素之一，如果是，则正确地操作，否则操作不正确？

S

$S$

S

$S$

— usul 2015年

@usul：我认为分拣网络无法检查此类事情。无论如何，使用大小为多项式的排序网络是很自然的。

n

$n$

— domotorp'3

好像没有伊恩·帕伯里提到由Chung和Ravikumar，纸张在那里他们理应给排序的网络，每一个排序位串，但之一，并进一步推断，验证排序网络的问题，是一个递归结构 - 完成。我无法立即找到原始论文，但可以肯定的是它符合我的直觉。 $co$ $NP$

编辑添加：查找这样的网络实际上很容易错过一个字符串。字符串错过将是。现在，您只需要一个电路对后位进行排序，然后对前位进行排序。该电路将对至少两个 s进行排序，显然将对全零字符串进行排序，并对将从开始的任何字符串进行排序。 $(1,0,\ldots,0)$ $n-1$ $n-1$ $1$ $0$

— 安德鲁·金
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可以将答案中的示例排序网络进行概括，以便对于任何给定的字符串，您都可以构建对该字符串进行错误排序的排序网络吗？您展示了如何对一个特定的字符串执行此操作，但是其他字符串呢？

— DW

您绝对可以对任何权重为

或

字符串执行此操作，但是我怀疑是否有可能遗漏单个任意位字符串。

1

$1$

n - 1

$n-1$

— 安德鲁·金

好的，所以我看不到您的答案显示答案为“否”。答案第二段中的结构并不表示对原始问题的否定答案，因为多项式中只有许多权重为

或

字符串。您答案中的所有工作似乎都是由Ian Parberry论文中的参考文献完成的，但是Parberry论文中的句子相当模糊，如果不阅读Chung等人的论文，我就不会知道我们如何得出结论问题是“否”。

1

$1$

n - 1

$n-1$

— DW

进一步侦查：“ 强不确定性图灵减少-一种证明难处理性的技术 ”（Chung和Ravikumar）将其列为引理2.1：给定任何未排序的字符串

，存在一个多项式大小的排序网络，该网络可以正确地对除

以外的所有字符串进行排序。为证明起见，它指的是“关于分类和相关问题的测试集的大小”（Chung和Ravikumar），但是我似乎找不到后者的副本。这确实意味着该问题的答案是“否”。

x

$x$

x

$x$

— DW

Chung和Ravikumar

— 撰写的