EXPTIME完全问题的非确定性算法暗示速度有多快？

EXPTIME完全问题的非确定性算法暗示速度有多快？多项式时间不确定性算法将立即暗示这一点，因为但。如果我正确完成了代数运算（请参见下文），那么对于任何超多项式，运行时间，时间层次定理仍将给出蕴涵，但对于我所知道的所有问题都存在有效减少的全部问题，这些问题允许较慢的算法给出结果。是否存在EXPTIME完全问题，我们知道或 $P \neq NP$ $P \neq EXPTIME$ $NP = EXPTIME$ $P \neq NP$ $O(2^n/f(n))$ $f(\cdot)$ $2^n/n$ $2^n/n^2$ 具有不确定性就足够了吗？

对“代数”的澄清： $P = NP$ 表示通过填充参数获得 $EXPTIME=NEXPTIME$ ，因此针对EXPTIME完全问题的不确定 $2^n/f(n)$ 算法也将是NEXPTIME完全问题的一种。对于超多项式 $f(\cdot)$ 这将与不确定的时间层次定理矛盾，因为我们可以 $L \in$ NTIME 使用一些来减少 $(2^n)$ 。

cc.complexity-theory

— 匿名
source

我认为您实际上需要运行时间才能与时间层次定理产生矛盾。我也认为这听起来不太可能。

2no(1) $2^{n^{o(1)}}$

— Sasho Nikolov

只是重申一下这个问题：ExpTime NTime暗示NP P 的最大是多少？

f $f$

⊆ $\subseteq$

(f(n)) $(f(n))$

⊈ $\not\subseteq$

— 卡夫

ps：如果您注册帐户，则可以更轻松地编辑问题。

— 卡夫

我相信Sasho是正确的，如果

EXPTIME=NEXPTIME $EXPTIME=NEXPTIME$ ，使得

L $L$ 为

EXPTIME $EXPTIME$ -complete且

L′ $L'$ 为

NEXPTIME $NEXPTIME$ -complete且

在时间

L′ $L'$ 可被还原为

，那么

没有任何矛盾，因为

的实例可能比

大

。

L $L$

O(nk) $O(n^k)$

L∈NTIME(2n√k) $L \in NTIME(2^{\sqrt[k]{n}})$

L $L$

O(nk) $O(n^k)$

L′ $L'$

— Joe Bebel 2015年

Answers:

我认为转过来比较容易。

如果，则对于某些常数以及任何。由于不包含，这意味着对于某些，我们无法解决在所有问题。在拟线性归约条件下针对完成的问题的非确定性时间算法将足以证明 $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{NTIME}(T(n)) \subset \mathsf{DTIME} ((T(n))^c)$ $c$ $T(n) > n$ $\mathsf{DTIME} ((T(n)^c)$ $\mathsf{DTIME}(T(n)^{c}\log T(n)) \subset \mathsf{DTIME}(T(n)^{c+1})$ $\mathsf{DTIME}(2^n)$ $\mathsf{NTIME} (2^{\epsilon n})$ $\epsilon$ $2^{o(n)}$ $\mathsf{DTIME} (2^n)$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ 。

— 罗素（Russell Impagliazzo）
source

感谢抽空以提供为什么一个简短解释

意味着

。DTIME(2n)⊆NTIME(2o(n)) $DTIME(2^n) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$

P≠NP $P \neq NP$

— Michael Wehar 2015年

并且，感谢您指出可以使用确定性或非确定性时间层次定理。:)

— Michael Wehar 2015年

简单答案：对于每个 - 问题有一些恒定这样，如果我们能够解决这个问题在 $EXPTIME$ $hard$ $c$ ，然后。 $NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$ $P \neq NP$

注意：常数来自因减少导致的实例大小爆炸。 $c$

理由：令表示一个 - 问题。这意味着中的每个问题都可以多项式化为时间。实际上，我们可以显示更多。 $X$ $EXPTIME$ $hard$ $EXPTIME$ $X$

为接受问题时间有界确定性图灵机是在，因此是多项式时间还原为。 $2^n$ $DTIME(n \cdot 2^n) \subseteq EXPTIME$ $X$

因此，必须有一个固定的常数，使得中的每个问题都可以多项式化为约数，其中实例大小爆炸为。也就是说，将大小为n的实例减少为的大小为实例。 $c$ $DTIME(2^n)$ $X$ $O(n^c)$ $O(n^c)$ $X$

现在，如果我们有，然后。但是，这意味着（有关详细信息，请参见下文）。 $X \in NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$ $DTIME(2^n) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ $P \neq NP$

其他详情：人们可以证明。 $P=NP$ $\Leftrightarrow$ $\exists c^{\prime}$ $\forall k$ $NTIME(n^k) \subseteq DTIME(n^{c^{\prime}k})$

换句话说，如果您可以在多项式时间内解决 - 问题，那么有一种统一的方法可以加快任何问题。 $NP$ $complete$ $NP$

现在，让我们假设。由前面的（与 = 1），我们得到一个恒定使得 $P=NP$ $k$ $c^{\prime}$

N T I M E (n) \subseteq D T I M E (n c') .

$NTIME(n) \subseteq DTIME(n^{c^{\prime}}).$

接下来，我们可以使用填充以扩大这种包容和得到

N T I M E (2 n) \subseteq D T I M E (2 c' n) .

$NTIME(2^{n}) \subseteq DTIME(2^{c^{\prime}n}).$

然后，由确定性时间谱系理论，我们有对于任何。

$NTIME(2^{n}) \subseteq DTIME(2^{c^{\prime}n}) \subsetneq DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n})$

$\epsilon > 0$

因此，我们不能有 $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{n}).$

此外，我们无法有，因为通过填充我们将得到。 $DTIME(2^{n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$

进一步的问题：没有人有任何简单的例子 - 问题，我们可以很容易地确定该实例的大小吹胀常数？ $EXPTIME$ $complete$ $c$

— 迈克尔·韦哈
source

The acceptance problem for

$DTIME(2^n)$ is itself

$EXPTIME$ -complete, that is, the language

$L = \{\langle T, x, 1^m \rangle\}$ consisting of DTMs

$T$ that on input

$x$ accept within

$2^m$ steps, because every language

$L' \in EXPTIME$ has some

$T$ that accepts

$x \in L'$ in time

$2^{O(|x|^k)})$ for some

$k$ , so that proper choice of

$m = O(|x|^k)$ reduces

$L'$ to

$L$ . In particular the constant (

$c=1$ ) then seems to show that the speedup (that is,

$f(n)$ ) must be exponential if to show

$P \ne NP$ , if you choose this particular

$EXPTIME$ -complete language.

— Joe Bebel

@JoeBebel Hi Joe, thanks for the comment. I think it's valuable that you further considered this problem

$L$ . Here, we can say more than just

$L \in NTIME(2^{o(n)})$ implies

$P \neq NP$ . For this particular artificial problem

$L$ , we may be able to say something like for any

$k$ ,

$L \in NTIME(2^{\frac{n}{k}})$ implies

$NTIME(n) \nsubseteq DTIME(n^{k-\epsilon})$ for all

$\epsilon > 0$ .

— Michael Wehar