逆阿克曼的乐趣

分析算法时，经常会发生Ackermann逆函数。它的一个很好的展示在这里：http : //www.gabrielnivasch.org/fun/inverse-ackermann。

α_{1} (n) = [n / 2]

$\alpha_1(n) = [n/2]$

α_{2} (n) = [\log_{2} n]

$\alpha_2(n) = [\log_2 n]$

α_{3} (n) = \log^{*} n

$\alpha_3(n) = \log^* n$

. . .

$...$

α_{k} (n) = 1 + α_{k} (α_{k - 1} (n))

$\alpha_k(n) = 1 + \alpha_k(\alpha_{k−1}(n))$ 和

α (n) = min {k : α_{k} (n) \leq 3}

$\alpha(n) = \min\{k: \alpha_k(n)\leq 3\}$ [符号：[X]意味着我们舍入x到最接近的整数，而日志*是迭代数函数在这里讨论：http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_logarithm]

我的问题是：什么是功能

k (n) = min {k : α_{k} (n) \leq k}

$k(n) = \min \{k: \alpha_k(n) \leq k\}$ 显然

1 ≪ k (n) \leq α (n)

$1\ll k(n) \leq \alpha(n)$ 。一个人对

可以给出更严格的界限

k (n)

$k(n)$ 吗？被

k (n) \leq \log α (n)

$k(n) \leq \log\alpha(n)$ ？

ds.algorithms ds.data-structures bounds

— 达娜·莫什科维兹（Dana Moshkovitz）
source

我知道为什么

，但你能解释一下为什么

？

k (n) \leq α (n)

$k(n) \leq \alpha(n)$

k (n) ≪ α (n)

$k(n) \ll \alpha(n)$

— jbapple

好的，编辑为无争议的

。

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

— Dana Moshkovitz

@DanaMoshkovitz：我近似使用阿克曼层次我熟悉的定义：

和

。随着阿克曼功能，典型的定义

α (n) = min {k : A_{k} (1) \geq n}

$\alpha(n)=\min\{k: A_k(1)\geq n\}$

k (n) = min {k : A_{k} (k) \geq n}

$k(n)=\min\{k:A_k(k)\geq n\}$

。因此，如果

然后

，即

。（我希望那里没有犯错。）

A_{k + 1} (1) = A_{k} (A_{k} (1)) \geq A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)=A_k(A_k(1))\geq A_k(k)$

A_{k} (k) \geq n

$A_k(k)\geq n$

A_{k + 1} (1) \geq n

$A_{k+1}(1)\geq n$

k (n) \geq α (n) - 1

$k(n)\geq\alpha(n)-1$

— Sylvain 2015年

@DanaMoshkovitz：澄清一下，我使用的是

而

，它的增长速度比您的定义稍快，例如

而不是

。但是，它不会产生太大的影响：

和

A_{1} (n) = 2 n

$A_1(n)=2n$

A_{k + 1} (n) = A_{k}^{n + 1} (1)

$A_{k+1}(n)=A_k^{n+1}(1)$

A_{2} (n) = 2^{n + 1}

$A_2(n)=2^{n+1}$

2^{n}

$2^n$

α (n)

$\alpha(n)$

几乎是同一回事。

k (n)

$k(n)$

— 西尔万2015年

@DanaMoshkovitz：我不明白为什么

。对于无穷多个值

你将有

，即每当

; 因为

k (n) < α (n)

$k(n)<\alpha(n)$

n

$n$

α (n) = k (n)

$\alpha(n)=k(n)$

A_{k} (k) < n \leq A_{k + 1} (1) < A_{k + 1} (k + 1)

$A_k(k)<n\leq A_{k+1}(1)<A_{k+1}(k+1)$

生长快，则有越来越长这样的序列。与您的定义它甚至有可能以具有

：

，因此

但

。

A_{k + 1} (1) - A_{k} (k)

$A_{k+1}(1)-A_k(k)$

α (n) < k (n)

$\alpha(n)<k(n)$

α_{2} (8) = 3 > 2

$\alpha_2(8)=3>2$

α (8) = 2

$\alpha(8)=2$

k (8) = 3

$k(8)=3$

— 西尔万2015年

Answers:

让是的逆。。我声称。 $A_k$ $\alpha_k$ $A_1(x) = 2x, A_2(x) = 2^x, \dots$ $k^{-1}(x) = A_x(x)$

由于，并且由于，。结果 $x = \alpha_x(A_x(x))$ $\forall z, \alpha_y(z) > \alpha_x(z)$ $\alpha_y(A_x(x)) > \alpha_x(A_x(x)) = x$ 。 $k(A_x(x)) = x$

现在考虑。通过定义，这是。我们知道，，所以 $\alpha(k^{-1}(n)) = \alpha(A_n(n))$ $\alpha$ $\min_z \{\alpha_z(A_n(n)) \leq 3\}$ $\alpha_n(A_n(n)) = n$ 。我声称。。现在，那么 $\alpha(A_n(n)) > n$ $\alpha(A_n(n)) \leq n+2$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) = 1+\alpha_{n+1}(n)$ $\alpha(n) = \min_z\{\alpha_z(n) \leq 3\}$ 。由于，，所以。因此， $\alpha_{\alpha(n)}(n) \leq 3$ $n+1 > \alpha(n)$ $\alpha_{n+1}(n) \leq 3$ $\alpha_{n+1}(A_n(n)) \leq 4$ 。 $\alpha_{n+2}(A_n(n)) = 1 + \alpha_{n+2}(\alpha_{n+1}(n)) \leq 1 + \alpha_{n+2}(4) \leq 3$

因此，我们有，所以和基本上相等。 $n < \alpha(k^{-1}(n)) \leq n+2$ $k$ $\alpha$

— jbapple
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让我补充说，所有这些功能都写数字4的只是不同的复杂的方式

— 沙利叶喀拉-佩莱德

这是不正确的。查看评论。

与此函数非常接近的一个函数称为“ ”，并在Pettie的“展开树，Davenport-Schinzel序列和双端猜想”中使用，其中他表示“ （在展开树中）双端操作仅取的时间，其中，是逆阿克曼函数映射的应用程序的最小数目为恒定“。 $\alpha^*$ $n$ $O(n\alpha^*(n))$ $\alpha^*(n)$ $n$

这个功能是非常缓慢的生长，而且是慢于生长。考虑函数 $\log \alpha(n)$ $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

f (n) = {\begin{cases} 1 & n = 0 \\ 2^{f (n - 1)} & n > 0 \end{cases}

$f(n) = \cases{1 & n = 0\\2^{f(n-1)} & n > 0}$

该函数的增长速度大致与一样快，因此比增长得慢。现在，我会评估和在： $A(4,n)$ $A'(n) = A(n,n)$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$ $A'(f(n))$

\log α (A^{'} (f (n))) = \log f (n) = f (n - 1)

$\log \alpha(A'(f(n))) = \log f(n) = f(n-1)$

α^{*} (A^{'} (f (n))) = 1 + α^{*} (f (n)) < 1 + α^{*} (A^{'} (n)) < 2 + α^{*} (n)

$\alpha^*(A'(f(n))) = 1 + \alpha^*(f(n)) < 1 + \alpha^*(A'(n)) < 2 + \alpha^*(n)$

~~由于，快得多增长比。 $f(n-1) \in \omega(2+\alpha^*(n))$ $\log \alpha(n)$ $\alpha^*(n)$~~

— jbapple
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alpha ^ *和k（n）有什么关系？（请注意，在k（n）的定义中，我使用在问题中具有的链接中定义的符号alpha_k（n））

— Dana Moshkovitz

哦，对不起，我看了你的

为

！

α_{k}

$\alpha_k$

α^{k}

$\alpha^k$

— jbapple