命令型理论的分支

我所知道的大多数类型理论都是谓语，我的意思是

Void : Prop
Void = (x : Prop) -> x

不能很好地类型的大多数定理证明，因为这PI类型属于同一宇宙中Prop和它不是的情况下Prop : Prop。这使它们成为谓语，而不允许像上面这样的命令性定义。但是，事实上，很多“黑板语言”（例如System F或CoC）都是必不可少的。实际上，这种隐含性对于定义语言中最初未包含的大多数构造至关重要。

我的问题是，鉴于它在定义逻辑结构方面的力量，为什么会希望放弃泛滥？我听过几个人的话说，难以控制会搞砸“计算”或“归纳法”，但我很难找到具体的解释。

我将把我的评论详细解释成一个答案。谓语类型理论的起源几乎与类型理论本身一样古老，因为Russel的动机之一是禁止“圆形”定义，这些定义被认为是十九世纪不一致和矛盾的根源。Thierry Coquand 在这里给出了开明的概述。在此理论中，谓词在“级别”或类型上属于“下一个”级别的类型，在该级别下存在无限（可数）个级别。

尽管拉塞尔的谓词等级制度足以（显然）足以消除已知的悖论，但事实证明，将其用作基础系统非常困难。特别是，要定义甚至简单的实数系统都非常困难，因此Russel提出了一个公理，即“可归约公理”，该公理假设所有级别都被“还原”为一个。不用说，这不是令人满意的发展。

但是，与“有害的”强制性陈述（例如不受限制的理解）相反，该公理似乎没有引入任何不一致之处。基础理论的后续表述（简单类型理论，Zermelo的集合论）接受了它们的全部内容，从而使谓词族（量化集合的整个范围）与谓词处于同一水平。

大约在1971年，马丁·洛夫（Martin-Löf）引入了从属类型理论，该原理和进一步的公理都Type : Type成立了。该系统由于微妙的原因而变得不一致：天真的Russel悖论无法（以一种简单的方式）表现出来，但是巧妙的编码仍然可以发现矛盾。这引发了与罗素类似的信仰危机，导致了带有我们认识和喜爱的宇宙的谓词类型理论。

有一种方法可以修补该理论，使它像 Zermelo集理论那样允许“无辜”的隐含性，从而产生诸如构造微积分之类的类型理论，但是这种损害已经造成，类型理论的“瑞典学派”倾向于拒绝隐含性。

几点：

1. 这与直觉数学有什么关系？答案不多。在二十世纪初，数学家倾向于将循环/强制性原理的使用与非构造性推理混为一谈（直觉是，强制性推理似乎假定了一个已有的数学世界，使用被排除的中间假设也是如此）。但是，存在完全直观的命令式理论（例如IZF）。对直觉主义感兴趣的人出于某种原因仍然倾向于对捕食主义感兴趣（我当然对此感到内gui）。

2. 有什么可你在表语数学吗？正如马丁在回答中所指出的那样，赫尔曼·魏尔（不要与安德烈·韦伊尔混淆）开始了一个程序，该程序试图探索谓词系统的表达能力，以此为出发点，谓语系统具有Peano算术和二阶表达能力。算术，大多数标准都认为它是必不可少的（并且在类型论方面与系统F相当）。该程序后来被称为“逆数学”，因为它试图根据证明它们所需的公理来对已知数学定理的强度进行分类（与通常方法相反）。的维基百科页面提供了很好的概述；该程序非常成功，因为十九世纪的大多数数学都可以很容易地包含在非常薄弱的​​系统中。这个程序是否可以扩展到例如更高类别的理论的最新结果仍然是一个悬而未决的问题（怀疑答案是“是的，需要很大的努力”）。

一维是类型推断。例如，系统F的类型推断是不可确定的，但是其某些谓词片段具有可确定的（部分）类型推断。

另一个方面是一致性作为逻辑。历史上杰出的思想家对具有数学必不可少的基础感到有点不安。毕竟，这是循环推理的一种形式。我认为H. Weyl可能是第一个，或者是第一个，他尝试以预测性的方式重建尽可能多的数学……只是为了安全起见。我们已经了解到，在经典数学中，拟似性的循环性不成问题，因为从“驯服”定性的定义中从来没有矛盾。随着时间的流逝，我们学会了信任他们。请注意，这（没有悖论）是一个经验观察！但是，证明理论的许多发展及其怪异的序数构造的最终目标都是希望“从下面”构建所有数学，即没有强制性定义。该程序未完成。近年来，人们对数学谓词基础的兴趣已经从对悖论的担忧转移到了证明的计算内容上，这由于各种原因而引起人们的兴趣。事实证明，强制性定义使提取计算内容变得困难。担心一致性的另一个角度来自Curry-Howard传统。马丁·洛夫（Martin-Löf）的原始类型理论是强制性的……而且不健全。在那次震惊之后，他只提出了谓词系统，但结合了归纳数据类型来重新获得许多折衷主义的力量。

类型理论趋向于预测性，主要是社会技术原因。

首先，可以用（至少）两种不同的方式来正式化泛滥的非正式概念。首先，我们说像系统F这样的类型理论是必不可少的，因为类型量化可以覆盖所有类型（包括量词所属的类型）。因此，我们可以定义通用标识和组合运算符：

但是，请注意，在标准（例如ZFC）设置理论中，这些操作不能定义为对象。有没有这样的事情在集合论“标识功能”，因为一个功能是域集和值域集之间的关系，如果一个函数可以是身份的功能，那么你可以用它来构建一套在所有集合中。（基本上，这就是约翰·雷诺兹（John Reynolds）证明System-F样式多态性没有定论模型的方式。）

但是，通过幂集公理，集合论以另一种方式是必不可少的。电源集impredicative，因为你可以说这样的话“让是所有子集的交集财产 ”，然后进行证明本身属性。结果，就是其成员的集合而言，被“强制性地”定义。这种含混不清的概念与F风格的量化是不相容的。参见Andy Pitts的论文非平凡幂类型不能是多态类型的子类型。S P X P $X$$S$$P$$X$$P$$X$

因此，F风格的隐含性与类型作为集合的幼稚视图不兼容。如果您使用类型理论作为证明助手，那么能够轻松地将标准数学移植到您的工具中就很好了，因此大多数实现此类系统的人都只是消除了可疑性。这样，所有内容都具有集合理论和类型理论的读物，并且您可以以最方便的方式解释类型。