关于非随机多项式身份测试

在多项式身份测试中，我们寻求一种确定性算法来推断两个多项式相等性。将已知的有效随机算法去随机化并产生有效的确定性算法是一个重要的开放问题。PIT是否有一个完整的问题，以便对这一类多项式进行去随机身份测试可以解决此开放性问题？如果不是，是否存在解决该问题的多项式类以及开放性的类？$g,h\in\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

[tl;dr] 众所周知，这是一个非常活跃的领域！ [/tl;dr]

重要的是要指定输入多项式的表示形式，因为它以系数或非零单项式的列表形式给出，所以这个问题很简单。因此，通常假设多项式作为算术电路（又名直线程序）给出。一般情况实际上归结为测试给定多项式是否为零多项式。

已研究了两种主要设置：一种是白盒，其中有算术电路并可以对其进行检查；另一种是黑盒，其中人们知道电路的某些信息（大小，形式度，...），但不能检查它，仅对某些值进行评估。

以下是对已研究电路的一些限制：

• 有界深度：电路的深度是从输入到输出门的最长路径。深度测试电路是微不足道的，深度理解非常好（完全解决了吗？我不知道...），深度测试电路也很容易理解。结果表明，解决深度和深度电路的问题与解决一般情况几乎相同。3 4 3 $2$$3$$4$$3$$4$
• 顶部/底部扇入：对于有界深度的电路，当对顶部或底部栅极的扇入（或Arari，即给定栅极的输入数量）进行有界时，已证明了许多结果。
• 还研究了其他限制，例如对变量使用次数的限制。

Nitin Saxena的这项调查是得出这些结果的良好来源。请注意，虽然它已经存在了一年多（！），但是这是一个非常活跃的区域。因此，最新结果未被涵盖。

最后，PIT的去随机化与其他问题的去随机化之间存在联系：

• Noether的归一化引理，由Ketan D. Mulmuley撰写；
• 多元多项式因式分解，由Swastik Kopparty，Shubhangi Saraf和Amir Shpilka撰写。