我们不能输出Kolmogorov复杂度吗？

让我们固定图灵机和通用图灵机的无前缀编码上输入（编码为的无前缀码随后）输出任何上输入输出（可能都永远运行）。限定的Kolmogorov复杂，，作为最短程序的长度，使得。$U$$(T,x)$$T$$x$$T$$x$$x$$K(x)$$p$$U(p)=x$

是否有图灵机使得每个输入都输出整数不同于的Kolmogorov复杂度，即但吗？$T$$x$$T(x)\le |x|$$x$$T(x)\ne K(x)$$\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$

这些条件是必要的，因为

（a）如果$T(x)\not \le |x|$，那么输出一个与K（x）略有不同的数字会很容易，$K(x)$因为它大于$|x|+c_U$，

（b）如果允许$\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)<C$，那么我们可以通过“幸运地”猜测最多1个数字来输出几乎所有数字的$0$（或其他常数）。 （一定数量的数字）的值等于0（等于$0$其他常数），然后输出其他值。我们甚至可以通过输出x = 2 ^ n的2 \ log n来保证\ limsup_ {| x | \ rightarrow \ infty} T（x）= \ infty。$\limsup_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$$2\log n$$x=2^n$

还要注意，如果我们知道$T(x)$不是排斥性的，但是对此知之甚少，那么我们的工作将会很容易，因此答案可能取决于$U$，尽管我对此怀疑。

我知道对关系的研究很多，但是

有没有人问过类似的问题，我们的目标是给出不输出某些参数的算法？

我的动机是这个问题http://arxiv.org/abs/1302.1109。

可以将问题改写为以及Denis在注释中指出对于某些编码，这是错误的。这是一个较弱的语句，并且它的尝试证明不依赖于编码的任何细节，但为简单起见，我将假定使用二进制语言：$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} = 0$

令是一个满足和。然后。非正式地，如果每个字符串的Kolmogorov复杂度周围都有一个目标，并且该目标的范围无限扩大，那么任何可计算的函数都无法避免击中它。$T:\{0,1\}^* \rightarrow \mathbb{N}$$0 \le T(x) \le \vert x \vert$$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{T(x)} = \infty$$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} \lt \infty$

为了看到这一点，令为一个随机的位数字，即和。对于所有，存在一个随机数。还要注意，存在无穷多个值，其中，这是根据上的条件得出的。现在，让为最小的字符串，使得。显然存在一个常数，使得，因为和$n$$b$$0 \le n \lt 2^b$$K(n) \ge b$$b$$n$$b$$\vert \{T(x) = b\} \vert \ge 2^b$$T$$x$$n^{\text{th}}$$T(x) = b$$c_1$$K(x) \gt b - c_1$$K(n) \ge b$$n$可以从计算。并且存在一个常数，使得，这是因为也仅由一个大于的常数从上方限制，并且可以从计算。然后，我们为选择了无数个（基数至少为），产生了无数个值对于，到此完成。$x$$c_2$$K(x) \lt b + c_2$$K(n)$$b$$x$$n$$\vert K(x) - T(x) \vert \lt c_1 + c_2$$b$$2^b$$x$

暗示是对于某些，无限地频繁。因此有人可能说我们不能输出非Kolmogorov复杂性的东西！$c \in \mathbb{Z}$$T(x) = K(x) + c$

我认为以下作品。我将针对Colmogorov复杂度使用$C(x)$

• 给一个时限（例如，输入程序长度的某个指数函数），然后调用结果。如果程序超出了时间限制，则进入无限循环。$U$$t$$U^t$$U^t$
• 让是最短的程序上的。注意，是可计算的。$C^t(x)$$x$$t$$C^t$
• 令返回，除非该值等于在这种情况下，返回0。除非是空程序的输出，在这种情况下，返回1。$T(x)$$C^t(x) + 1$$|x|$$x$
• 由于，因此将始终与。上一步中的逻辑处理边缘情况。$C(x) \leq C^t(x)$$T(x)$$C(x)$
• $U^t$用作所有字符串的代码，因此具有无限的下无穷大。