图形什么时候可以接受最多只有一次步行的方向？

考虑以下问题：

输入：简单（无向）图 $G=(V,E)$。

问题：是否有一个方向 $G$ 满足每个人的特性 $s,t \in V$ 最多有一个（定向的） $s$--$t$ 步行？

这可以等效地表述为：

输入：简单（无向）图 $G=(V,E)$。

问题：是否存在非循环取向 $G$ 满足每个人的特性 $s,t \in V$ 最多有一个（定向的） $s$--$t$ 路径？

答案为“是”的图的类别是什么？这个问题可以在多项式时间内解决吗？

一些观察：

1. 如果该图是二部图，则答案为“是”。
2. 如果图形具有三角形，则答案为“否”。

第一个观察结果是将边缘从一个分区定向到另一个分区。第二个观察很容易检查。这导致了我两个错误的猜测：

1. 当且仅当图为二部图时，答案为“是”。（反例：5个周期）
2. 当且仅当图形没有三角形时，答案为“是”（反例：具有5个循环的边的笛卡尔积）

从非全等3SAT减少到NP完全。要看到这个，观察一下

• 一个的唯一有效方向 $4$-cycle是其中边缘交替定向的一种。
• 让 $P$ 是一个三边无向路径，并在的端点附近添加一个二度顶点 $P$ 形成一个 $5$-周期。然后的唯一方向$P$ 可以扩展到整个的有效方向 $5$-cycle是其中 $P$ 并非始终定向为定向路径。

我们为变量组成一个变量小工具 $v$ 属于 $k$ 通过粘合在一起，NAE-3SAT实例的不同子句 $k$ 共享 $4$-在共享边缘上循环。然后在每个$4$循环，与共享边缘相对的边缘必须与所有其他边缘一致地定向 $4$-周期。我们将变量的真值与这些边的一致方向相关联。此外，在任何这些有效方向上$4$循环，没有一条路可走 $4$循环到另一个 $4$-循环，因此这些小工具只能沿其边缘的方向进行交互，而不能通过存在更长的路径进行交互。

通过将以下三个元素粘合在一起，我们为NAE-3SAT实例的3变量子句形成了一个子句小工具 $4$-将与三个可变小工具的共享边缘相对的边缘循环到3边路径中 $P$ 然后添加一个二级顶点来完成 $P$ 变成一个 $5$-周期。如上所述，这$5$当且仅当它的三个边缘都没有全部定向为有向路径时，-cycle才能一致地定向，并且（当正确粘贴时）在且仅当与这些定向关联的真值不均相等时，它才是正确的。

顺便说一句，DAGS最多有一个 $s$--$t$ 为每个人走 $s$--$t$之前已经研究过该对，如“多树”，“非常明确的图”或“红树林”；参见https://en.wikipedia.org/wiki/Multitree